费拉里求根公式,

              4   3    2                                  

   四次方程ax  +bx  +cx  +dx  +e=0的求根公式过于复杂。为了描述方便，不得不借助几个中间变量。

       2            

      c  +12ae-3bd    

P=                

          9

          2   3     2            

     27ad  +2c  +27b  e-72ace-9bcd    

Q=                

                 54

        2    3              

D=    Q   -P  

   3              

u=    Q +D     或or

   3              

u=    Q -D    (取模较大的数值)

     P    

v=           (若u为零，则v也取值为零)    

      u

       1      √3i

w=-       +  

       2        2

        2    8        k-1     4-k  

m=    b  -     ac+4a(w   u+w    v）

             3

             16        k-1     4-k  

S=2b -     ac+4a(w   u+w    v）

             3

             2    3            

     8abc-16a  d-2b  

T=                

         m

上面三个公式中，k可取值1，2，3. （m,S,T）的取值最好选择│m│最大的一组，这样计算T时数值最稳定。如果三个│m│均为零，则上面三个变量按下面三个公式取值, m=0,

        2     8

S=b   -      ac

              2

T=0,

四个根为(下式中n=1,2,3,4),

           n/2       n+1         n/2

     -b+(-1)    m+(-1)       S+(-1)    T

x=                

                 4a

例：解方程,

  4    2                                                

6x  -7x  +x+1-cosα=0

       2                

     c   +12ae-3bd          49+72(1-cosα)   121-72cosα

P=                 =              =    

         9                  9            9

         2    3     2                                  

     27ad  +2c  +27b  e-72ace-9bcd   162-686-432(1-cosα)  -956+432cosα -478+216cosα

Q=                              =                  =             =        

                54                        54                54          27

        2    3          -478+216cosα  2   121-72cosα  3  

D=    Q   -P     =    (             )   -(           )

                            27               9                    

   3              

u=    Q +D     或or

   3              

u=    Q -D     (取模较大的数值)

      -478+216cosα       -478+216cosα  2    121-72cosα  3  

u=                =    (             )   -(           )

         27                   27               9        

     P

v=         (若u为零，则v也取值为零)    

     u

                        121-72cosα    

v=

      -478+216cosα       -478+216cosα  2    121-72cosα  3  

9               +   (             )   -(           )

         27                   27               9        

       1      √3i

w=-       +  

       2        2

        2    8        k-1     4-k  

m=    b  -     ac+4a(w   u+w    v）

             3

               2

m=    112+24(w  u+w  v）    取k=3

             2

m=2  28+6(w   u+w  v）  

             16        k-1     4-k  

S=2b -     ac+4a(w   u+w    v）

             3

           2          

S= 224+24(w  u+w v）, 取k=3

           2      3  

    8abc-16a  d-2b

T=        

         m

            288    

T=

             2

  28+6(w   u+w  v）  

四个根为(下式中n=1,2,3,4),

          n/2      n+1        n/2        

    -b+(-1)   m+(-1)       S+(-1)    T

x=

                4a

               2                     2                  288i

    2i   28+6(w  u+w  v）+   224+24(w  u+w  v）+

                                                      2

                                                   28+6(w  u+w  v）

x  =

1                                  24  

               2                     2                  -288

    -2   28+6(w  u+w  v）-   224+24(w  u+w  v）+

                                                      2

                                                   28+6(w  u+w  v）

x  =

2                                  24  

               2                     2                  288i

    -2i   28+6(w  u+w  v）+   224+24(w  u+w  v）+

                                                      2

                                                   28+6(w  u+w  v）

x  =

3                                  24  

               2                     2                  288i

     2   28+6(w  u+w  v）-   224+24(w  u+w  v）+

                                                      2

                                                   28+6(w  u+w  v）

x  =

4                                  24  

解方程,

  4    2

6x  -7x  +x+1-cosα=0

因为,

  4      3      2

x   +a  x  +a  x  +a  x  +a  =0

      3      2      1      0

上面方程的近似解是:

            3                        3              

-     t   [3t-2   (-q/t+p)]  -2    -q  

x=y+h≈                                            

                   3

                 3      t    +t        

    3

            3                        3              

-     t   [3t-2   (-q/t+p)]  -2    -q    3       -3a    ±    9a  -24a

+  -q/t-[                                    ]     +      3          3    2              

                   3                                          12

                 3      t    +t      

其中      

  -3a    ±    9a  -24a

           3          3    2              

  h=                

   12

t=4h+a

      3

     3         2                                                      

p=4h   +3a   h    +2a   h+a

           3         2      1

               4        

q=a   h+a   +h

    1     0                                                

这就得到下面方程的近似解

  4      3      2                                                

x   +a  x  +a  x  +a  x+a  =0                 (1)

      3      2      1    0

因为,

  4     2                

6x   -7x   +x+1-cosα=0

所以,

  4    2                            

x  -7x/6  +x/6+1/6-cosα/6=0

所以，上面方程的近似解是:

  -3a    ±    9a  -24a       ±    28       ±   7        

           3          3    2              

  h=                            =              =           ≈ ±0.44095

   12                    12            6    

          ±2     7      

t=4h+a  =              ≈ ±1.7638    

      3        3                          

    3       2                          

p=4h  +3a  h  +2a  h+a

         3       2     1                        

      ±7     7     ±7     7  

p =             +              +1≈ ±0.34296 ±1.0289+1    

         54              18

                ±7     7            

q=a   h+a  +h=              +1/6-cosα/6≈ ±0.51445+0.1666-cosα/6

   1     0          36              

            3                        3              

-     t   [3t-2   (-q/t+p)]  -2    -q  

x=y+h≈                                            

                   3

                 3      t    +t        

    3

            3                        3              

-     t   [3t-2   (-q/t+p)]  -2    -q    3       -3a    ±    9a  -24a

+  -q/t-[                                    ]     +      3          3    2              

                   3                                          12

                 3      t    +t      

             3                                      

-   ±1.7638  [3* ±1.7638-2    (-q/t+p)]+2    -( ±0.51445+0.1666-cosα/6)

x≈                                            

                   3

                 3    ±1.7638  ±1.7638        

    3

            3                        3              

-     t   [3t-2   (-q/t+p)]  -2    -q    3      

+  -q/t-[                                    ]    ±0.44095          

                   3                                      

                 3    ±1.7638 ±1.7638      

    6.解系数为任何复数的四次方程

   推导过程可参见А.Г.УРОШ著高等代数教程1953年版,

解系数为任何复数的四次方程,

          4   3    2                            

y  +ay  +by  +cy+d=0              (13)

可以化为解某一个三次辅助方程。次之方法为费勒黎的解法。预先代以y=x-a/4化方程(13)为,

          4    2                  

x   +px  +qx+r=0

设y=x+h，得

     4        3      2                      

(x+h)   +a(x+h)  +b(x+h)  +c(x+h)+d=0

  4       3     2       2    3     2      4     3                                                                    

x  +(a+4h)x  +(6h  +3ah)x  +(4h  +3ah  +c)x+h  +ah  +h+d=0

因为, a+4h=0, 所以, h=-a/4, y=x-a/4,

所以,

     2              

p=6h  +3ah

     3    2                            

q=4h  +3ah  +c

    4   3                                    

r=h  +ah  +h+d

继续用参数t把这个方程的左边变为恒等式：

  4    2        2       2            2   2                      

x   +px  +qx+r=(x  +p/2+t)  +qx+r-(p/2+t)  -2x  (p/2+t)

                                   2    

4    2        2       2         p    2    2                                

x  +px  +qx+r=(x  +p/2+t)  +qx+r-      -t  -2tx  -pt                        

                                 4      

或,

                                        2    

  2      2      2      2        p  

(x  +p/2+t)  -[2tx  -qx+(t  +pt-r+       )]=0          (15)            

                                      4      

现在选取t使得方括号里面的多项式成一个完全平方，此时它必须有一个二重根，亦即它的判别式必须等于零：

                                        2    

  2       2           p  

q   -4*2t(t   +pt-r+         )=0     (16)

                                      4      

等式(16)是系数为复数的未知量t的三次方程。我们已经知道，这个方程有三个复数根。

设t  为其中的一个，

0

它可由卡但公式经方程(16)的系数，亦即可经方程(14)的系数用方根来表出•。下面求解t，

因为,

                                        2    

  2       2           p  

q   -4*2t(t   +pt-r+         )=0     (16)

                                   4

所以,

   3    2      2     2            

-8t  -8pt  +8rt-2p  t+q  =0

     3   2     2     2                                      

   t  +pt  -rt+p  t/4-q  /8=0

解方程

     3   2     2     2                                      

   t  +pt  -rt+p  t/4-q  /8=0        (16*)

上面方程（16*）可转化为

   3     2                          

y`   +a`y`  +b`y`+c`=0

上面方程可转化为

  3            

x`   +p`x`+q`=0

其中,

y`=x`-a`/3,

h`=-a`/3=-p/3,

     2              2        2                          

p`=3h`  +b`+2a`h`=b`-a`  /3=-r+p  /4-p/3

     3          3              3          2      2    

q`=h`  +b`h`+c`=-a`  /27-a`b`/3+c`=-p  /27-p(-r+p  )/12-q  /8

                          3    

注意：ε是1的立方根，即ε =1, 因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是

ε  =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2,

   0     1              2                

         3                                3            

                           2        3                     2       3                                            

            -q`           q`       p`         -q`         q`       p`      

t  =          +             +        +         -           +          -p/3  (6)        

    0        2            4      27           2          4      27        

         3                                3            

                           2        3                     2       3                                            

            -q`           q`       p`    2    -q`         q`       p`      

t  =ε          +             +      +ε         -           +          -p/3  (7)        

1          2            4      27           2          4      27        

         3                                3            

                           2        3                     2       3                                            

     2     -q`           q`       p`          -q`         q`       p`      

t  =ε          +             +      +ε         -           +          -p/3  (8)        

2          2            4      27           2          4      27        

这样选取的t使(15)里面位于方括号中的多项式有二重根,

             q  

          4t

            0

所以方程(15)有次之形状：

2        2    2       q  

(x  +p/2+a  )   -2a   (x-       )=0

                                   4t

                                      0

亦即，它可分解为两个二次方程：

   2               p                 q                                  

x   -   2t     x+(        +t   +           )=0

           0       2        0     2   2t                  

                                         0          

                                                               (17)

   2               p                 q                                  

x   -   2t     x-(        +t   +           )=0

           0       2        0     2   2t                  

                                         0

因为从方程(14)到方程(17)我们都是用的恒等变换，所以方程(17)的根是方程(14)的根。同时易知方程(14)的根可经其系数应用开方来表出。由于对应公式比较复杂而且没有实用价值，我们不予写出。对于有实系数的方程(14)的各种情况，我们亦不再予以分析。

解方程:

   2               p                 q                                  

x   -   2t     x+(        +t   +           )=0

           0       2        0     2   2t                  

                                         0

根据一元二次方程根的计算公式得,

            3                      p              q  

     2t  ±     2t   -4(        +t    +         )        

         0         0          2     0    2   2t    

                                                       0            

x=

                            2  

所以，就得到一元四次方程的根的计算公式,

  4    3    2                            

y   +ay  +by  +cy+d=0               (13)

预先代以y=x-a/4化方程(13)为,

  4   2              

x  +px  +qx+r=0

上式中, h=-a/4, y=x-a/4,

    2          4   3           3     2                        

p=6h  +3ah, r=h  +ah  +h+d, q=4h  +3ah  +c,

解得,

            3                      p              q  

     2t  ±     2t   -4(        +t    +         )        

         0          0      2       0    2   2t    

                                                       0            

y=x-a/4=                                                      -a/4

                            2  

其中,

         3                                3            

                           2        3                     2       3                                            

            -q`           q`       p`         -q`         q`       p`      

t  =          +             +        +         -           +          -p/3  (6)        

    0        2            4      27           2          4      27        

         3                                3            

                           2        3                     2       3                                            

            -q`           q`       p`    2    -q`         q`       p`      

t  =ε          +             +      +ε         -           +          -p/3  (7)        

1          2            4      27           2          4      27        

         3                                3            

                           2        3                     2       3                                            

     2     -q`           q`       p`          -q`         q`       p`      

t  =ε          +             +      +ε         -           +          -p/3  (8)        

2          2            4      27           2          4      27        

上式中,

       2                  

p`=-r+p   /4-p/3,

     3         2      2                          

q`=-p  /27-p(-r+p  )/12-q  /8

一元四次方程费拉里求根公式:

  4    3      2                                                  

y   +ay   +by   +cy+d=0                   (13)

预先代以y=x-a/4化方程(13)为,

  4   2                                            

x  +px  +qx+r=0

上式中, h=-a/4, y=x-a/4,

    2         4     3          4     3                      

p=6h  +3ah, r=h  +ah  +h+d, q=4h  +3ah  +c,

            3                      p              q  

     2t  ±     2t   -4(        +t    +         )        

         0          0      2       0    2   2t    

                                                       0            

y=x-a/4=                                                      -a/4

                            2  

其中,  

         3                                    

             3   2     2     2       3    2     2     2   2    2       2    3

           h  +h  -rh+p  h/4-q  /8   (h  +h  -rh+p  h/4-q  /8)  (3h  +2ph-r+p  /4)

t  =                           +                          +      

    0               2                           4                     27  

         3                                    

             3   2     2     2       3    2     2     2   2    2       2    3

           h  +h  -rh+p  h/4-q  /8   (h  +h  -rh+p  h/4-q  /8)  (3h  +2ph-r+p  /4)

+                         -                          +      

                    2                           4                  27  

二、一元三次方程卡尔丹解法

1.三次与四次方程，

推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版，

41.三次与四次方程，

说明，计算一元三次立方根的卡尔丹公式如下：

  3    2                                    

y   +ay  +by+c=0                  (1)

设y=x+h,得

     3       2                              

(x+h)  +a(x+h)  +b(x+h)+c=0

3        2     2           3                                        

x  +(3h+a)x  +(3h  +2ah+b)x+h  +bh+c=0

上面方程可转化为,

  3                                

x  +px+q=0                (3)

其中, y=x-a/3,                (2)

h=-a/3,

     2          2                            

p=3h  +b+2ah=b-a  /3,

    3        3                                    

q=h  +bh+c=-a  /27-ab/3+c,

只要求得方程(3)的根，那么我们根据(2)就可以得到方程(1)的根, 根据基本定理方程(3)有三个复数根，设x0是其中一个, 我们引入辅组未知量u来讨论多项式,

      2

f(u)=u  -x0u-p/3,

它的系数为复数，故有两个复数根α和β。而且由韦达公式，得,

α+β=x0                              (4)  

αβ=-p/3                            (5)

以根x0的表达式(4)代(3)中，我们得出：

     3                        

(α+β)  +p(α+β)+q=0,

或,

   3   3                                    

α  +β  +(3αβ+p)(α+β)+q=0,

但由(5)得3αβ+p，故有,

   3   3                                  

α  +β  =-q             (6)

另一方面，由(5)推得,

   3    3   3                        

α   β   =-p  /27       (7)

                       3    3                                    

等式(6)与(7)证明了，数α  和β  是系数为复数的二次方程,

           3                

   2      p            

z   +qz-      =0           (8)

          27

的根,

解方程(8)，我们得到：

                    2       3                                                      

      q           q       p          

z =-       ±          +      

      2            4      27              

    3          

                    2       3                                                      

         q         q       p          

α=   -      ±         +      

        2          4      27              

    3          

                    2       3                                                      

        q         q       p          

β=  -      ±         +                    (9)

        2          4      27              

注意：因α和β在等式(6)和(7)中，同时在x0的表达式(4)中，都是对称的,

                              3         3                            

故对方程的根(S)的根，以何者为α  何者为β  是没有什么分别的。这就是说α，β可以相互交换位置，得到的计算结果不变.

即,

     3          

                    2       3                                                      

         q         q       p          

β=   -      ±         +      

        2          4      27              

    3          

                    2       3                                                      

        q         q       p          

α=  -      ±         +                    (9)

        2          4      27              

或,

     3          

                    2       3                                                      

         q         q       p          

α=   -      ±         +      

        2          4      27              

    3          

                    2       3                                                      

        q         q       p          

β=  -      ±         +                    (9)

        2          4      27              

两者的计算结果是相同的, 我们得到次之卡尔丹公式，把方程(3)的根经其系数用平方根与立方根来表出：

        3                           3                      

                     2       3                    2        3                          

          q        q       p            q        q       p  

x0=α+β=       +        +         +   -      +        +  

          2        4      27            2        4       27      

因立方根在复数域中有三个值，所以(9)式给予α三个值与β三个值。

注意：ε是1的立方根，即

   3

ε  =1,

因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是

ε  =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2,

  0      1             2  

下面内容为插叙

推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版,

7.复数的方根,

但应用卡尔丹公式时，不可能取任一方根值α与任一立方根值β的组合：

对于已予的α值只能取三个β值中适合条件(5)的哪一个值。

设α1为α的三个值中的任一个。

                                       2                      

由7已经证明其他二值可以1的立方根ε与ε  乘α1来得出：

                    2                    

α2=α1ε，α3=α1ε   ，

以β1记β的三个值中由(5)式的关系对应于α的值α1的那一个值，亦即α1β1=-p/3。β的其他两个值是,

                    2      

β2=β1ε，β3=β1ε   ，

因由,

   3                

ε  =1,

              2        3                                        

α2β2=α1ε*β1ε   =α1β1ε  =α1β1=-p/3,

所以α的值α2对应于β的值β3；同理值α2对应于β2. 这样一来，方程(3)所有的根可以写为次之形状：

x1=α1+β1,

                2                  

x2=α2+β3=α1ε+β1ε  ,                       (10)

            2                    

x3=α3+β2=α1ε  +β1ε,

上面方程的根为,

方根来表出：

        3                           3              

                     2       3                    2        3                          

          -q        q       p            q        q       p  

x   =       +        +         +   -      -        +  

    1      2        4      27            2        4       27      

        3                           3              

                     2       3                    2        3                          

          -q        q       p     2     q        q       p  

x  =ε       +        +      +ε   -      -        +  

    2      2        4      27           2        4      27      

        3                           3              

                     2       3                    2        3                          

       2   -q        q       p          q        q       p  

x  =ε       +        +      +ε   -      -        +  

    3      2        4      27           2        4      27      

其中,

  3

ε =1,

因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是

ε  =1, ε  =-1/2+i√3/2, ε  =-1/2+i√3/2,

  0      1               2

推导过程可参见7.复数的方根,

2.实系数三次方程

我们来看一下，关于实系数不完全三次方程,

   3                            

x   +px+q=0              (11)

的根，可以说些什么。在这一情形，我们发现在卡尔丹公式中平方根下面的表示式,                                        

                    2       3                                                      

                   q       p          

         +      

                   4      27              

有重要作用。再者，这一表示式与方程(11)左边的判别式反号，在以后的叙述中我们将用判别式的符号来分类。事实上，应用38的(24)式于我们现在的情形(亦即在这一式子中取a=0,b=p,c=q)，我们得到,

                     2       3                                                      

     3     2        q       p          

D=-4p  -27q  =-108(      +      )

                    4      27    

推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版,

38.结式、未知量的消去法、判别式,

                        3   2                      

例：求出三次多项式f(x)=x  +ax  +bx+c的判别式。由(23)

     3      s       s        

              1       2  

D=   s      s       s

       2      2        3

     s      s        s            

       2       3        4      

由上节我们知道,

s   =σ   =-a

  1    1  

       2       2                                                                        

s   =σ   -σ  =a  -2b

  2    1   2                                    

       2      2        3                                          

s   =σ   -σ  σ  +3σ  =-a  +3ab-3c  

  3    1   2       3

应用牛顿公式，由σ  =0，我们求出,

                  4                

       4   2                2  4   2         2                        

s   =σ  -4σ  σ  +4σ  σ  +2σ  =a  -4a  b-4ac+2b

  4    1   1   2   1   2    2                            

故,

                     3  2      2   2  2    3    3                                                

D=3s  s  +2s  s  s  -s  -s  s  -3s  =a  b  -4b  -4a  c+18abc-27c    (24)

     2  4   1  2  3  2   1 4    3                                                                    

所以,

    2    2     3     3                                  

D=a   *0   -4*0   -4a   c+18a*0*c-27c

      3                  

D=-4a   c-27c

因为, a=0,b=p,c=q,

所以,

      3                  

D=-4a   c-27c

上面的插叙结束，接上面

(1)设setD<0.

此时在卡尔丹公式的平方根下面是一个正实数，所以每一个立方根下面都是实数。但是实数的立方根有一个是实数值，有两个是共轭复数值。设α1是α的实数值，那么由p之为一实数，知经(5)式的关系对应于α1的β的值β1亦必为一实数。知经(5)式的关系对应于α1的β的值β1亦必为一实数。这样一来，方程(11)的根x1=α1+β1为一实数,

                               2                          

把7中对于1的立方根ε=ε1与ε  =ε2的表示式(7)代入本节中的(10)式，

下面内容为插叙,

推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版,

7.复数的方根,

单位根, 特别重要的情形是求数1的n次根。这个根有n个值，所有这些值，我们叫n次单位根，由等式1=cos0+isin0与公式(4)，知其为,

     2kπ        2kπ                

1=cos      +isin          ;       k=0,1,...,n-1       (1)

       n        n              

由(6)式，知如n为偶数，则在k=0与n/2时得n次单位值的实值，如n为奇数，则仅在k=0时始能得出实值。在复平面上，n次单位根排列在单位圆的圆周上而且把圆周分为n个等分；其中有一个分点是数1. 因此，n次单位根中那些不是实数的值的位置是对于对称的，亦即两两共轭, 二次单位根有两个值1与-1，四次单位根有四个值1，-1，i与-i。记住三次单位根的值，以后很有用。由(6)，这些数是,

     2kπ        2kπ                

cos      +isin          ;

       n        n    

其中k=0,1,2,亦即，除1以外，是共轭数

         2π       2π      1      √3    

ε1=cos      +isin      =-      +i            

         n        n        2       2        

                                         }           (7)      

         4π       4π      1      √3    

ε2=cos      +isin      =-      -i            

         n        n        2       2        

复数α的n次根的所有值，都可以从它的某一个值乘上所有的n次单位根来得出，例如设β为数α的n次根的某一个值，亦即,

   n        

β   =α,

而ε为任一n次单位根，亦即

   n

ε   =1,

则,

    n    n   n                    

(βε)   =β   ε   =α

亦即βε为,

  n

α   的一个值

乘β以n次单位根的每一个值，我们得出α的n次方根的n个不同的值，亦即这个根所有的值。

例：(1)数-8的立方根有一个值-2. 由(7)，知其它两个根为, -2ε1=1-i√3和-2ε2=1+i√3，

    4

(2)   81    有四个值：3，-3，3i，-3i

上面的插叙结束，接上面，

                              2                    

把7中对于1的立方根ε=ε1与ε  =ε2的表示式(7)代入本节中的(10)式，

我们求出其他两个根，

             2            

   x2=α1ε+β1ε  =α1(-1/2+i√3/2)+β1(-1/2-i√3/2) =-(α1+β1)/2+i√3(α1-β1)/2

       2                                    

x3=α1ε  +β1ε=α1(-1/2-i√3/2)+β1(-1/2+i√3/2) =-(α1+β1)/2-i√3(α1-β1)/2

由α1与β1之为实数，知这两个根是共轭复数，而且虚数部分不为零，因为α1≠β1——这两个数是两个不同的数的平方根。这样一来，如果D<0,那么方程(11)有一个实数根与两个共轭复数根。

(2)设D=0.在这一情形，

    3

α=   -q/2  ，

    3

β=   -q/2  ，

设α1为α的实数值；那么由(5)知β1亦为一实数，而且α1=β1. 在(10)式中以α1代β1且应用显明的等式ε+ε     =-1，我们得出：

x1=2α1,

         2          

x2=α1(ε+ε  )=-α1,

       2              

x3=α1(ε  +ε)=-α1,

这样一来，如果D=0，那么方程(11)所有的根都是实数，而且有两个彼此相等。这个重根的出现与其判别式等于零是完全一致的。

(3)最后，设D>0。在这一情形，卡尔丹公式中平方根号下面是一个负实数，所以在立方根号下面是互相共轭的复数。这样一来，所有α与β的值现在都是复数。设，

α0=u+iv，为α的任一个值，而β0为由(5)得出的对应于α0的β值。那么

                             2   2            

β0=-p/(3α)=-p/3(u+iv)=-p(u-iv)/3(u  +v  )

      2      2                              

数α0   与β0   是实系数二次方程(8)的复数根，故必须共轭。但已验证数，

    3        3                3  

α0   =(u+iv)           与(u-iv)    彼此共轭，故，

           3       3                              

       β0   =(u-iv)  ，

             2     2                              

因而实数-p/3(u   +v   )的立方根等于1，这就说明它自己等于1. 这就证明了β0=u-iv,所以α0+β0是一个实数。我们得出了方程(11)的所有根都是实数根，而且由判别式D之不为零，这些根里面没有重根。这样一来，如果D>0，那么方程(11)有三个不同的实数根。刚才的讨论说明在最后的这个情形，卡尔丹公式的实用价值不很大。事实上，随则在D>0时，实系数方程(11)的根全为实数，但是用卡尔丹公式来求出它们要对复数开立方，我们只能化这些数为三角式来做。所以用根式写出的方程的根失去实用价值。我们可以应用超出本书范围以外的方法来证明，方程(11)的根在所讨论的情形，一般是没有办法可经其系数利用实数的方根来表出。在这一情形所解的方程(11)成为不可约的(不要和不可约多项式相混淆!)

例。1.解方程，

  3    2                  

y   +3y  -3y-14=0

设 y=x-a/3，y=x-1，代入y=x-1化这一方程为，

  3                

x  -6x-9=0                    (12)

此处p=-6,q=-9,故,

        2     3                  

      q     p       49    

         +       =      >0

      4     27       4    

亦即方程(12)有一个实数根和两个共轭复数根。由(9)

   3                      

      9     7      3  

α=      +       =   8  

      2     2          

   3                      

      9     7      3  

β=      -       =   1  

      2     2          

故α1=2，β1=1，亦即x1=3。其它两个根可从(10)求出：                    

      3     √3    

x2=-     +i      

      2     2          

      3     √3    

x3=-      -i      

      2     2      

故知，所予方程的根为数,

y1   =2,

      5     √3    

y2=-     +i      

      2     2          

      5     √3    

y3=-      -i      

      2     2

2.解方程,

   3

x   -12x+16=0

  此处p=-12,q=16,故,

          2     3                  

      q     p          

         +       =0

      4     27        

因此:                      

    3  

α=   -8  

亦即α1=-2，所以, x1=4,x2=x3=2,

3.解方程.

  3                    

x   -19x+30=0

此处p=-19,q=30,故

         2     3                  

      q     p       784    

         +       =-      <0

      4     27       27    

这样一来，如果限于实数范围，卡尔丹公式对于这一方程不能应用，即使它的根是实数2，3，与-5,

3. 环的定义：

定义了下列三种运算（演算）的集合叫做环，

加法运算：对于集合中的任意两元素a和b，有元素c与它们对应，c叫做a,b的和：c=a+b

乘法运算：对于任意两元素a和b，有元素d与它们对应，d叫做a,b的积, d=ab,

减法运算：对于任意两元素a和b，有元素e与它们对应，e叫做a,b的差, e=a-b,

加法与乘法运算，由下列性质刻画出来,

加法公理,

1.结合公理：对于任何三元素a,b和c；必有

(a+b )+c=a+(b+c)

2.交换公理：对于任何两元素a和b；必有,

a+b=b+a,

3.逆运算公理(对于加法):

对于任何两个元素a和b存在唯一的元素，满足条件,

a+x=b,

元素x称为元素b和a的差，记作

乘法公理

4.结合公理：对于任何三元素a，b和c；必有,

(ab)c=a(bc),

5.交换公理：对于任何两元素a和b；必有,

ab=ba,

6.分配公理：对于任何三元素a，b和c；必有,

(a+b)c=ac+bc,

注意不满足交换律的环成为不易环，反之，满足交换律的环成为可易环,

减法公理,

7.结合公理：对于任何三元素a，b和c；必有,

b+(a-c)=(b+a)-c,

6.分配公理：对于任何三元素a，b和c；必有,

bc+(a-b)c=ac,

b+(a-b)=a,

(a-b)c=ac-bc,