推导过程可参见1946年版《大学教本微积分学》，周梦鏖译，龙门联合书局出版,Granville等著

15.函数之极限值

在应用中，通常发生之情势，往往如此，如吾人有一变数v及一已知之v之函数z, 此自变数v所取之值均可使v→l, 于是吾人即可检定因变数z之值，而就特殊形言，即可确定z是否趋近一极限，如其处有一常数a,足使lim  z=a,则所述之关系即可写为

lim    z=a

        v→l

  写为，“在v趋近l时，z之极限为a”

16.极限定理

在计算函数之极限值时，以下诸定理可予应用，其证明则于第20节中述之，假定u,v及w均为变数x之函数，并假定，

lim  u=A,  lim  v=B,  lim  w=C,

  x→a      x→a      x→a        

于是下列关系即告成立，

(1)lim   (u+v-w)=A+B-C

  x→a

(2)lim   (uvw)=ABC

x→a

         u       A

(3)lim       =       ,设B不等于零    

x→a   v       B

简言之，即一代数和，或一积，或一商之极限分别等于其各别之极限之, 同一代数和，或积，或商，唯对于最后所举之一端，则须分母之极限不为零方可，如c为一常数(与x无关系)而B不为零，则由上述可知

                                     c       C

(4)lim   (u+c)=A+C,  lim   cu=CA,   lim      =  

  x→a             x→a         x→a  v       B      

现取若干例题研究之，

1.证明

          2                    

lim   (x  +4x)=12

x→2

[解法]所与之函数为x    与4x之和，吾人可先求此二函数之极限值，由（2）

          2                    

lim   x   =4

x→2

因

2

x  =x*x

由（4），

lim   4x  =4  lim  x   =8

x→2         x→2

于是，由（1），得其答案为4+8=12    

2.证明

        z  -9    5

   lim       =-       ,

x→2   z+2     4

[解法]就分子论，由（2）及（4），得

     lim  (z+2)=4

    x→2  

于是，由（3），吾人即可得所求之结果  

3.证明

            3    2    1/2                                  

lim   (x   +6x  +3x  +8 )=12

x→2

               3   2   1/2                                                                                      

[解法]所与之函数为x  ,6x  ,3x  ,8之和，

吾人可先求此二函数之极限值，由（2）

                3          

lim  x  =8,

因,

         3              

       x   =x*x*x                    

由（4），

                2           2                          

lim  6x  =6  lim  x  =24

     x→2         x→2

由（4），

       1/2      1/2                                    

lim  3x   =3  lim  x  =3*1.4142=4.2426

x→2         x→2

于是，由（1），得其答案为8+24+4.2426+8=44.2426

4.证明

                    3          

lim   (x   +2sinx+3cosx )=12

           x→2

                   3                      

[解法]所与之函数为x   ,2sinx ,3cosx之和，

  吾人可先求此二函数之极限值，由（2）

        3                      

  lim  x  =8,                    

x→2

因

              3                

x   =x*x*x

由（4），

lim  2sinx =2 lim  sinx =2*sin2=2*0.034899=0.069798

x→2         x→2

于是，由（1），得其答案为8+0.069798+2.99817=11.067968,

17.连续函数与不连续函数

在上节例题1中，曾证明

              2                  

lim   (x  +4x)=12

     x→2

于此可见其答案即函数在x=2时之值，亦即谓，函数值极限值, 在x趋近2作为一极限时，即等于x=2时该函数之值也，此函数对于x=2,于是即谓之为连续函数, 其一般定义如下。

[定义]一函数f(x)，如其极限值, 于x趋近于a作为一极限时即为x=a时配该函数之值，则此函数即谓之为关于x=a之连续函数，以记号表之，如

lim   f(x)=f(a)

x→a

则f(x)对于x=a为连续函数, 如此一条件未能满足，则该函数即称为关于x=a之不连续函数, 于此须加注意者，即以下时常出现之两种情况。

[情况1]现举一例，以说明函数对于变数一特殊之值为连续函数时之一简单情况，试一研究函数,

      2            

        x  -4

   f(x)=      

x→2   x-2

如x=1,则f(x)=f(1)=3, 再则，如x趋近于1为一极限，则函数f(x)即趋近3为一极限（第16节）, 于是，此函数对于x=1遂为连续函数。

[情况2]连续函数之定义曾假定函数于x=a时为业经确定者。然情况若非如此，则于x=a时，对于函数，有时亦可能配与一值，足使连续性条件仍可满足也。此二情况，现以下一定理包容之。

[定理]设f(x)于x=a时为不能确定之函数，而

lim   f(x)=B

x→a

若假定B即为x=a时f(x)之值，则f(x)于x=a时即为一连续函数。譬如，函数

          2                

        x   -4      

        x-2                  

于x=2时不能确定（因其时即需用零作除数）。但对于x之每一其他之值，

          2                

        x   -4      

                =x+2            

x-2    

而

lim   (x+2)=4

x→2

因此,

          2                

        x   -4      

lim            =4          

x→2   x-2    

此函数于x=2时虽属不能确定，但如吾人于x=2时，任意配与一值4，则该函数对于一值，仍变为连续者矣。一函数f(x)，如在一区间内，对于所有x之值均为连续的，即可谓，此函数在此一区间为连续函数。（注）

注.本书讨论大体上均为连续之函数，即对于x之一切值（除若干孤值为可能之例外）均连续值函数，故吾人之结果大体上亦仅对于使题中函数确为连续函数时之x各值，方得认为正确无误也。

在微积分学中，吾人常须计算一变数v，于v趋近一位于函数连续区间内之一值a为极限时，其函数之极限值，此极限值即v=a时该函数之值。

当分母为0时，极限的求法，推导过程可参见1992年版《高等数学》，盛祥耀主编，高等教育出版社出版.

18.无限（∞）

如一变数v之数值最后变为，并始终大于任一事先假定，不论如何庞大之正数时，吾人即可云v变为无限大(infinite)。如v仅取正值，即变为正无限大；如仅取负值，则变为负无限大。此三种情况中所极为有用。下一例题足以说明其法。

  例题。证明

          2                

       2x  -3x  +4       2

lim        2      =-          

x→2    5x-x   -7x        7

[解法]分子与分母二者中所呈现x之最高幂为x  , 即以之除分子与分母，于是吾人即得

                                3       4

          2                 2-      +     3      

       2x  -3x  +4               x       x

lim        2      =  lim            

x→2    5x-x   -7x     x→∞   5       1

                               2  -       -7        

                             x        x

由（4），知分子或分母中包含x各项之极限均为零。于是，由第16节之（1）与（3），即可得其答案焉。因此，在任何相似之情况中，其第一步骤遂如下述。用分子与分母二者中出现之变数的最高幂除分子与分母二者。如u与v均为x之函数，再如

lim   u=A,    lim   v=0,

x→a         x→a

且设A不为零，则                

        u    

lim            =∞          

x→a   v    

此一记法仍为第16节中（3）之例外情况而设，其时B=0而A不为零也，并一阅第20节。

问题

试证下列各题。

           2                

        5-2x          2

1.lim         3   =-          

x→∞    3x+5x         5

[证明]  

                             5        

            2                2   -2

        5-2x                x

1.lim         3   =lim          

x→∞    3x+5x    x→∞     3   +5

                            x  

     2

[用x    除分子与分母二者]

由（4）知，分子与分母中含x各项之极限均为零。于是，由第16节之（1）与（3），吾人即可得其答案矣。

           2                

        4x+5      

2.lim             =2          

x→∞   2x+3        

         2                

       4t  +3t+2       1

3.lim     3        =-        

t→0   t   +2t-6       3

        2            1    

lim             =-        

t→0  -6             3

         2     2   3        

       x  h+3xh  +h     x

4.lim         2       =        

h→0    2xh+5h          2

         2        2        

       x  h+3xh+h    

=lim                        

h→0    2x+5h      

        2

        x          x    

=lim          =        

t→0  2x         2

         2    2   3        

       3h+2xh   +x   h     1

5.lim           3    3   =-        

h→∞    4-3xh-2x   h        2x

             3     2

       (2z+3k)   -4k  z    

6.lim              2     =1  

k→0       2z(2z-k)      

          2

       4y   -3  

7.lim     3    2    =0  

y→∞  2y  +3y

         3    2

       6x  -5x  +3

8.lim     3        =3  

x→∞  2x  +4x-7

            n         n-1                        

      a   x    +a    x    +...+a        a        

       0         1             n        0

9.lim                               =    

x→∞       n          n-1                                                

       b   x   +b    x    +...+b        b    

        0        1             n        0            

            n         n-1                        

      a   x    +a    x    +...+a        a        

       0         1             n        n

10.lim                               =    

x→0       n          n-1                                                

       b   x   +b    x    +...+b        b    

        0        1             n        n    

         4    2

       ax  +bx  +c

11.lim     5   3     =0

x→∞  dx  +ex  +fx

          4    2

       ax  +bx  +c

12.lim     3   2       =∞

x→∞  dx  +ex  +fx+g

         4    4

       s   -a          2  

13.lim   2   2      =2a

x→∞  s   -a

          n    n

      (x-h)   -x       n-1

14.lim             =nx

h→0     h

         2  

       x   +x-6         5

15.lim    2         =

x→2   x   -4           4        

         x+h    -√x       1

16.lim                =

h→0    h              2√x    

[证明]其极限值不能由h=0之代换而得，因其时吾人所得者（第12节）乃不定性（inde-terminate form)   0/0 也。于是吾人即得用适当方策变换原式，即如下所示将分子有理化焉。

         x+h    -√x  ×   x+h    +√x

    h              x+h    +√x    

         x+h-x              1

=                =

h(   x+h  +√x)       x+h  +√x    

于是,

         x+h    -√x            1            1                    

lim                =lim               =        

h→0    h          h→0    x+h  +√x    2√x

            2                

17.已知f(x)=x    ，试证

       f(x+h)-f(x)      

lim              =2x

h→0   h      

   [证明], 因为

                           2    2            

       f(x+h)-f(x)         (x+h)   -x

lim              =lim  

h→0   h         h→0     h    

          2    2            

       (x+h)   -x     (x+h+x)(x+h-x)

              =               =2x+h                

   h              h    

所以,

       f(x+h)-f(x)        

lim              =lim  (2x+h)=2x

h→0   h         h→0  

             2        

18.已知f(x)=ax   +bx+c,试证

       f(x+h)-f(x)        

lim              =2ax+b

h→0   h        

[证明] 因为,

                            2             2            

       f(x+h)-f(x)         a(x+h)   +b(x+h)+c-(ax   +bx+c)

lim              =lim  

h→0   h         h→0            h    

       2             2            2        2            2                              

   a(x+h)   +b(x+h)+c-(ax   +bx+c)   ax  +2ahx+ah  +bx+bh+c-ax  -bx-c

                             =

h                            h

       2ahx+ah+bh        

                 =2ax+b

h

19.已知f(x)=1/x，试证

       f(x+h)-f(x)        1

lim              =-

h→0   h              2

                     x              

[证明] 因为        

       f(x+h)-f(x)         1/(x+h)-1/x

lim              =lim  

h→0   h         h→0     h    

                      x-x-h      

     1/(x+h)-1/x          2

                       x   +xh         -1

             =             =    2    

   h              h         x   +xh

所以so

       f(x+h)-f(x)             -1           1          

lim              =lim     2       =-      2

h→0   h         h→0  x   +xh         x

           3      

20.如f(x)=x     , 试求,

                           3    3        

       f(x+h)-f(x)         (x+h)   -x                  

lim              =lim            

h→0   h         h→0    h      

       3     2    2    3                      

       x   +3xh  +3x  h+h          2     3          

lim                      =3xh  +3x   +h        

h→0        h          

19.无穷小。

一变数v，如趋近零为一极限，则称之为一无穷小(in-finitesimal)，此点可写作（第14节）。

lim v=0,或v→0,

意即v之数值最后即变为，并始终小于任一事先指定，不论如何微小之正数也。如lim v=l,则lim(v-l)=0; 亦即谓，一变数与其极限间之差为一无穷小。反之，如一变数与一常数之差为一无穷小，则此变数即趋近该常数为一极限。

20.关于无穷小与极限之定理。

在以下讨论中，所有变数均认为同一自变数之函数。并于此一变数趋近一固定之值a时，趋近其各自之极限。常数ε为事先指定之正数，其若何微小悉听吾人之意愿，但不得为零。吾人先证关于无穷小之四项定理。

1.n个无穷小之代数和仍为一无穷小，n则为一固定之数。因此和之数值，关各无穷小之数值变为且继续小于ε/n时，即变为，且继续小于ε也。

2.一常数c与一无穷小之积仍为一无穷小。

因此积之数值，于此无穷小之数值小于ε/│c│时，即小于ε也。

3.n个无穷小之积仍为一无穷小，n为一固定之数。因此积之数值，于各无穷小之数值变为，并继续小于ε之n次根时，即变为且继续小于ε也。

4.如lim v=l，而l不为零，则以v除一无穷小i之商亦为一无穷小，因吾人仅能选取一正数c，其在数值上为小于l者，以使v之数值最后变为且继续大于c, 而同时可使i之数值变为，且继续小于cε，于是此商之数值遂即变为，且继续小于ε也。

[第16节定理之证明]设

（1）u-A=i,v-B=j,w-C=k, 于是i,j,k均为x之函数，而于x→a时各各趋近于零；亦即谓，彼等均为无穷小（第19节），由方程式（1）可得，

(2)u+v-w-(A+B-C)=i+j-k, 此式之右端，由上述定理1可知为一无穷小。于是，依第19节，

（3）  lim  (u+v-w)=A+B-C

      x→a

吾人再由(1)得u=A+i,v=B+j, 两者相乘，并移置AB，即得，

（4）uv-AB=Aj+Bi+ij,   依上述定理1-3，可知其右端为一无穷小，而于是

（5）  lim   uv=AB

      x→a

此项证明极易推广及于uvw之积。最后，吾人可写，

（6）

        u       A      A+i      A      Bi-Aj

          -       =       -       =

v       B      B+j      B      B(B+j)

依定理1与2，（6）之分子为一无穷小。由（3）与（4），

                 2  

    lim   B(B+j)=B      

于是，由定理4，（6）之右端为一无穷小，而

（7）        

        u       A    

lim       -      

x→a  v       B    

第16节所述诸点于是遂得证明矣。

加法器乘法器，稳压电源电路图

第八部分 极限的计算电路

当分母不为0时，极限的求法

推导过程可参见1946年版《大学教本微积分学》，周梦鏖译，龙门联合书局出版

                   2        

                 x   -4

            lim           =4

           x→2   x-2

           lim   (x+2)=4

           x→2  

  当分母为0时，极限的求法，如下所示

推导过程可参见1992年版《高等数学》，盛祥耀主编，高等教育出版社出版

当分母为0时，极限的求法，如下所示，

例2: 证明

                   2          

                 2x   -2

            lim           =4

           x→1    x-1

这不算证明，现在用定义证明，这里

                   2          

                 2x   -2

            f(x)=           =4 , A=4,x   =1,

                   x-1              0

因为,

                    2                  2      

                 2x   -2            2(x  -2x+1)    

     │f(x)-A│=             -4  =                 =2│x-1│,(x≠1)  

                   x-1                 x-1    

所以对于任意给定的ε>0，要使│f(x)-A│<ε，就应取│x-x   │=│x-1│<ε/2,

                                                     0

因此应取δ=ε/2,当：0<│x-x   │=│x-1│<δ=ε/2, 时，就恒有

                           0

│f(x)-A│=2│x-1│<2*ε/2=ε, 由此可知

                   2          

                 2x   -2

            lim           =4

           x→1    x-1

综上所述：当x-1<δ时，f(x)-4<ε, 所以f(x)在x→1的时，极限是4

                   2          

                 2x   -2

计算函数    lim          极限的电路

           x→1    x-1

                   2          

                2x    -2-t(x-1)

       设g(x)=                  =s(x-1)        

                    x-1

用直流电源电压表示x,t,s的数值，用乘法器，除法器，减法器，表示上面等式，用电压表测量等式两端电压相等时，s的输出是正整数时，这时t的输出电压值就是极限值4.

调节x,s,t的电压输出，使乘法器A，乘法器A输出的电压相等，用电压表测量s是正整数时，t的输出值就是函数f(x)在x→1时的极限，调节电位器使x,s,t输出的电压值不断变化，

电路图如下所示

                   2          

                 2x   +2

计算函数    lim          极限的电路

           x→1    x+1

把x=1代入函数f(x)

                   2           2

                 2x   +2   2*1   +2

                         =           =2  

                  x+1         1+1        

                   2          

                 2x   +2

所以       lim          =2

           x→1    x+1

用乘法器加法器除法器表示计算式

                               2

                           2x   +2

                        x+1        

最后得到计算结果2，就是极限值

电路图如下

第九部分 微积分导论

推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译，

推导过程可参见《无穷小分析基础》,苏联，И.И普里瓦诺夫，C.A加里别伦著，

如果y的一切值，按其绝对值来说，不超过某一个有限正数M, 即y的一切值满足不等式，

│y│≤M

则量y就叫做有界的量。比方，y=tgx在宗量由x=-45°到x=45°的区间内是个有界变量，因为在这种情况下│tgx│≤1. 但是除了有界变量外，也有不能满足上述定义的量存在，比方说，我们拿tgx在宗量值由0°到90°的区间内来说，不论我们选取怎样大的正数N, 只要x在第一象限内，总有tgx>N，这种变量叫做无界变量

2-2变量的极限

我们知道，变量的变化方式是不一定相同的。虽然如此，但在变量各种各样的变化方式中值得注意的是这样的一个方式。用通常语言来说就是变量愈来愈靠近于或无限地趋近于某一个确定书值，这个确定数值就叫做变量的极限，而这种样子的变化就叫做变量趋向于其极限，为了使变量趋于极限的含意不致引起任何误解，必须给它下一个精确的数学定义。我们利用“变量变化过程”这个术语来表示变量趋于其极限时中间所经过的途径，也就是表示变量在变化途径中取得任一值时，则在未取得该值“之前”或在已取得该值“之后”这个途径中的每一个值，变量都能一一取得。

设y是变量，且设已知其变化过程。定义，如果对任何一个随我们意思所取的正数ε，在变量y的变化过程中能找到这样一个确定值b, 使对所有其余的诸值，变量y与b之差的绝对值恒小于ε，则数值b就叫做变量y在它的已给变化过程中的极限，即在y的变化过程中，从某数开始，对y的一切值不等式│y-b│<ε都能成立，如果用符号来写的话，那么我们就写成

lim   y=b  或y→b(lim是拉丁文“极限”limer的1前三个字母)

从这个定义看来，极重要的仅是这么一点：

即总是要使y与b之差在变量继续变化时，按其绝对值来说永远小于ε，也不管ε是怎样取的，然而y趋向于其极限的方式却是可以形形色色各不相同，比方，变量能趋向于其极限而永远保持大于其极限，或者能趋向于其极限而永远保持小于其极限，或者能时而大于其极限又时而小于其极限。下面我们举几个例子来看。

例1，设y=1/n, 并设给定的变化过程是：n顺次取全部正整数中每一个数：n=1,2,3,...,n...,

显然，这就规定了y值的次序，也就是规定了y的变化过程。我们如果商定把变量y的极限写成：

lim    y,

n→∞

注：我们用符号∞表示无穷大，它的简单意思就是表示变量的绝对值无限制的增大。大于任何大的数，本章2.6要详细的说明它。于是就看出

lim    y=  lim    (1/n)=0

  n→∞       n→∞

事实上，不论正数ε预先怎样选取，我们总能找到这样一个整数n使

│1/n-0│<ε,即1/n<ε,

为此，只要n>1/ε就足够了，对于一切更大的n值，显然，│1/n-0│<ε都是成立的。

因为n增大，则分数1/n就缩小。由此可见，根据极限概念的定义

lim    (1/n)=0

n→∞

在这个例子中，变量趋向于其极限总是保持大于其极限的，因为1/n是个正数。

例2，设y=-1/n,(n=1,2,3,...,n,...) 当y=-1/n时由上例显然可见零必定也是它的极限。

因为，│-1/n│=│1/n│

所以

lim    (-1/n)=0

n→∞

此处，变量总是保持小于其极限的，因为-1/n是负数而其极限是零。

例3.变量

      n                      

y=(-1)    /n,(n=1,2,...,n,...)的极限：

            n

lim    (-1)   /n=0

n→∞

因为,

      n          

│(-1)     /n│=1/n

而

lim    (1/n)=0

n→∞

早在例1中就已经知道了。但是值得注意的是：在这里，变量y的值时正时负，既当n为偶数时为正，而当n为奇数时为负，可见变量趋于极限时，时而大于其极限又时而小于其极限。

           n                            

例4.设y=1/2    ,(n=1,2,...,n,...)，则

         n            

lim    1/2   =0

n→∞

                     n      

这是因为当n→∞时，2   也趋于∞，于是，本例题又复与例1情况相似，

用数学归纳法可证：

         n              

lim  1/a   =0

n→∞

上式中a为实数。

值得特别指出的是：

本例题恰恰就是我国古代哲学家在极限方面的思想。据春秋时代的哲学家庄周所著：当时雄辩家惠施与墨瞿概括中说过这样的话“一尺之极，日取其牛，万世不竭”。

意思就是说一尺长的木杖，第一天截去它一半，剩下一半；第二天又截所剩下的一半，第三天再截第二天所剩下的一半，如此截取下去，虽经万世也截取不完。

如果以尺为单位，则每天所截取的尺数顺次为：

      2      3       n                            

1/2,1/2    ,1/2    ,...,1/2     ,.....

它逐渐趋向于零，但永远不等于零，而以零为其极限。根据上面的描述可以重新定义极限，

设时间为虚数，所求极限的函数为实数。

y=1/2   ,(n=1,2,...,n,...)，则

        n                      

lim  1/2  =0

n→∞

                     n  

这是因为当n→∞时，2   也趋于∞，如果以尺为单位，则每天所截取的尺数顺次为：

      2      3       n                            

1/2,1/2    ,1/2    ,...,1/2     ,.....

它逐渐趋向于零，但永远不等于零，而以零为其极限。

设一天时间为1i,两天时间为2i,...,n天时间为ni。

                                                      n    

那么，像上面那样每天截一半木杖，经过n天，木杖还剩1/2   长度。

所以，上面的函数的极限为, 在虚数范围内

              n       n                              

lim   1/2  =i*1/2

    n→∞

上式中,i表示虚数i

              n       n                              

lim   1/a  =i*1/a

    n→∞

上式中,i表示虚数i,a表示实数,

在以上举过的例子内，似乎变量在其变化过程中变化时，始终不能达到其极限值的，这种印象是不完全对的。变量有时这样变化，当趋向于其极限时，在其变化过程中有等于其极限的值存在。

           n                            

例4a.设y=2    ,(n=1,2,...,n,...)，则

         n            

lim    2   =∞

n→∞

                     n      

这是因为当n→∞时，2   也趋于∞，

设i代表天数，一个木杖，一天增加2倍长度，n天长度就是2,

            n                                  n          

所以函数y=2    在n→∞时的极限考虑虚数就是i*2   , 即

       n      n                                    

lim  2   =i*2

n→∞

上式中,i表示虚数i

用数学归纳法可得

       n      n                                    

lim  a   =i*a

n→∞

上式中,i表示虚数i

例5，设

         sin(nπ/2)

y=               (n=1,2,3,...,n,...)

           n  

因为正弦的绝对值不大于1，于是有

         sin(nπ/2)

               ≤1/n

           n  

并且从某个n起，可以看出

         sin(nπ/2)

               <ε

           n  

也就是说，

         sin(nπ/2)

lim                <ε

n→∞       n  

但是变量sin(nπ/2)在变化过程中，当n为任何偶数时它都等于零，因而变量

         sin(nπ/2)

y=              

           n  

当n是偶数时也跟着等于零了。

         sin(nπ/2)

lim                =0

n→∞       n  

由此可知，变量在其变化过程中确有无限多次取得其极限的。由上面的截木杖理论求极限，推导, 假设n等于天数虚数i表示时间，

sin(nπ/2)在第一天等于sin(π/2)，第二天等于sin(2nπ/2), sin(nπ/2)在第n天等于sin(nπ/2)，

在虚数范围内

         sin(nπ/2)

lim                =i*sin(nπ/2)/n

n→∞       n  

同理可证：

         cos(nπ/2)

lim                =0

n→∞       n  

在虚数范围内

         cos(nπ/2)

lim                =i*cos(nπ/2)/n

n→∞       n  

例5a，设

         tan(nπ/2)

y=               (n=1,2,3,...,n,...)

           n  

因为正切的绝对值不大于1，于是有

         tan(nπ/2)

              -∞   ≤1/n

           n  

并且从某个n起，可以看出

         tan(nπ/2)

               <∞

       n  

也就是说，

          tan(nπ/2)

lim                =∞

n→∞       n  

但是变量tan(nπ/2)在变化过程中，当n为任何偶数时它都等于零，因而变量

         tan(nπ/2)

y=              

           n  

当n是偶数时也跟着等于零了。

         tan(nπ/2)

lim                =∞

n→∞       n  

由此可知，变量在其变化过程中确有无限多次取得其极限的。由上面的截木杖理论求极限，推导, 假设n等于天数虚数i表示时间，

tan(nπ/2)在第一天等于sin(π/2)，第二天等于tan(2nπ/2), tan(nπ/2)在第n天等于tan(nπ/2)，

在虚数范围内

         tan(nπ/2)

lim                =i*tan(nπ/2)/n

n→∞       n  

同理可证：

         cot(nπ/2)

lim                =0

n→∞       n  

在虚数范围内

         cot(nπ/2)

lim                =i*cot(nπ/2)/n

n→∞       n  

总结上面代虚数的极限，当实属范围内，

极限等于0或∞时，引入虚数后极限结果是原函数再乘以单位虚数,

例如：

           1

lim          =0

n→∞     n  

这个函数的极限当n趋于无穷大时，等于零,

引入虚数后，极限就等于原函数和单位虚数的乘积, 即，

           1

lim          =i/n

n→∞     n  

这种极限的求法和上面的极限的求法不相同，不能在同一个公式里面应用

值得特别指出的是：本例题恰恰就是我国古代哲学家在极限方面的思想。

据春秋时代的哲学家庄周所著：当时雄辩家惠施与墨瞿概括中说过这样的话“矩不方，规不可以为圆”。

意思是说，矩画出来的直线也可构成圆，规画出的圆也可以构成直线“

矩是古人在水利工程测量时使用的三角尺，和现在的三角尺相同。由木头制造。

规是古人在水利工程施工时测量的工具，和现在的圆规相同，由木头制造。

由上面的描述可得，设直线的函数是y=x, 圆的函数是y=2πx, 用n天把直线y=x截成n段，直线就变成一个点，再把n个点围成一圈就构成一个圆y=2πx,

设时间为虚数i，在虚数范围内

lim    x/n =2πx*i/n

n→∞

上式中,i表示虚数i,n表示实数

同理可证：

lim    1/n =2π*i/n

n→∞

用n天把圆y=2πx截成n段，圆就变成一个点，再把n个点连成一条线就构成一个直线y=x,

设时间为虚数i，在虚数范围内，

lim    2πx/n=i*x/n

n→∞

上式中,i表示虚数i,n表示实数

同理可证：

lim    2π/n=i/n

n→∞

总结上面代虚数的极限，当实属范围内，极限等于0或∞时，引入虚数后极限结果是原函数再乘以单位虚数和2π的乘积，或者，引入虚数后极限结果是原函数再除以单位虚数和2π的乘积，

例如：

           1

lim          =0

n→∞     n  

或

           1

lim          =2πi/n

n→∞     n  

或

           1

lim          =i/2πn

n→∞     n  

2-5.极限的基本定理

利用无穷小的定理2-4不难证明极限的基本定理。

定理1.任何确定个数变量的代数和的极限，就等于它们各个极限的代数和，即

lim  (y   +y    -y   )=limy   +limy   -lim y

n→∞    1    2    3       1      2       3                                                                                                                      

证明，设

lim   y   =b  , lim  y  =b   ,lim  y  =b          (2.5)  

n→∞    1    1    2      2        3     3                                                    

因为变量与其极限的区别就在于多一个无穷小（2.3公式（2.3）），于是，我们有

y   =b   +α     ,y   =b   +α      ,y   =b   +α    ,

  1    1    1      2    2   2       3    3    3                                                        

此处α  ，α   及α   都是无穷小量。

       2     2     3

把它们相加后便得

  y   +y   -y    =(b   +b   -b    )+(a    +a    -a    )  

1    2   3      1    2    3      1     2     3

其中表达式

α   +α   -α   =α  +α   +（-α  ）

  1     2     3     1    2       3

可以看作三个无穷小之和，所以也是无穷小量，

于是代数和(y   +y   -y   )与(b  +b   -b   )的区别也就在于多一个无穷小了。    

            1    2    3     1    2   3

因而，

lim(y   +y   -y   )=b   +b   -b

     1   2    3    1    2     3

用等式2.5代换b   ,b   及b   后得

                1    2     3

lim   (y   +y   -y   )=limy   +limy   -limy

n→∞    1   2   3        1      2      3

显然，以上的证明与已给代数和中包含的项数无关，  并且在任何有限个（有界的）项数时这命题仍然正确。

      定理2，两个因子乘积的极限等于它们极限的相乘积，即                  

lim  (y   y   )=(limy   )*(limy   )

       1   2       1        2                        

证明，设                

             lim  y  =b    ,lim y   =b          (2.6)

                   1    1       2     2        

依2-3式（2.3）我们有y   =b   +α   及y   =b   +α

                       1    1    1      2    2    2        

此处α  及α   是无穷小量，  

       1    2

连乘y   及y   得y   y   =b   b   +(b   α   +b   α   +α  α   ),                                                                    

   1     2      1   2   1   2     1    2    2   1      1   2        

但b   α  及b    α   都是常量乘以无穷小所以还是无穷小，

     1   2     2    1                          

量α  α  是两个无穷小相乘（2-4定理2的系）也是无穷小。

     1   2                              

故（2-4定理1的系2）诸无穷小的和（b  α  +b  α  +b  α  ）是无穷小量。

                                     1  2    1  2   1   2                

于是乘积y   y   与常量b   b    的区别仅在于多一个无穷小，

          1   2          1   2                  

这就是说，

lim  y   y   =b   b

       1   2   1    2                        

用等式（2.6）代换b   及b    后得

                   1      2  

  lim (y   y   )=(lim y    )(lim y   )                    

        1  2        1        2                  

系，任何确定个数因子连乘积的极限，等于它们各个极限的连乘积，比方

lim y   y   y    =(lim y   )(lim y    )(lim y    )

     1   2   3       1        2        3          

可以看出y   y   y   与(y    )*(y    y    )并无区别，但

           1   2   3      1     2    3

lim (y   )*(y   y   )=(lim y    )[(lim y    y   )]

     1     2    3        1         2    3

而其中

   lim  (y   y   )=(lim y   )(lim y    )  

          2   3        2       3                                                                        

如将此式插入前式中便得：

lim  (y   y   y    )=(lim y    )(lim y    )(lim y   )

       1   2   3        1         2        3                  

上述证明是针对三个因子来证明的，  但本命题并不限于三个因子，    

因为如果将y    y    y    y    写成形式y    (y    y    y    )，

             1    2   3    4            1     2     3    4

我们就同样能够对于四个因子来证明它；对于四个因子证明后，

预先把(y    y    y    y    y    )写成y   (y    y    y    y   )的形式，

         1    2    3    4    5        1   2    3    4    5

对于五个因子，我们也能证明它的正确性，由此类推此系就证实了。

定理3，如果分母的极限不等于零，则分数的极限就等于分子的极限除以分母的极限，即

设lim y   ≠0, 则,

       2

           y        lim y

             1          1        

      lim        =

           y        lim y        

             2          2        

证明，设lim  y   =b   ,lim y   =b    ,

               1    1      2    2              

依条件b   ≠0,于是，

        2                  

y   =b   +α    及y   =b   +α   ，

  1    1    1        2    2    2

此处α  及α   是无穷小量(参阅2-3式(2.3)), 考虑差数

      1     2

           y         b

             1          1        

                -

           y         b        

             2          2        

则有

           y         b          b   +α           b        α  b   -b   α      

             1          1         1     1           1       1  2    1   2                  

                -            =               -          =  

           y         b          b   +α           b           b   +α   b

             2          2         2     2          2            2    2  2

我们看得出

               α  b   -b   α      

                 1  2    1   2                  

                b   +α   b

                 2    2  2

                                                 2        

是个无穷小量。因为量α   b   是无穷小，且依条件b  ≠0, 因而总能找到那样一个瞬时，

                       2    2                    2          

从那时起

                           2      

│α    b   │<b   /2

               2     2

但此时

    2                2    2     2                    

│b   +α   b   │>b   -b   /2=b   /2

    2     2   2      2   2      2              

且,

                           1                 2

                                         <2/b

                          2                   2            

b   +α   b  

                         2     2   2    

即量          

                           1              

                          2                            

b   +α   b  

                         2     2   2    

从某瞬时开始将是有界量。   又分子α   b   -b  α  可以看作是无穷小的代数和，

                                   1   2    1   2

因而是个无穷小量。由2-4定理2可知量

                           2              

α   =(α   b   -b   α   )/(b   + α   b   )

         1   2   1   2     2     2   2                                                    

是无穷小量，最后，又因为

           y         b

             1          1        

                =            +α              

           y         b          3

             2          2      

所以,

           y         b

             1          1        

     lim         =                        

           y         b        

             2          2      

这就是所要证明的。

定理4.幂指数为正整数的变量的极限，等于变量极限的同次幂，即

              n         n                

         lim(y)    =(lim y)   ,

此处n是正整数。

                                    n            

    证明，当n为正整数时我们可以把y    看成是n个因子的连乘积    

y    =y*y......*y,

   n次

  利用定理2的系便得

      n                              

lim(y    )=(lim y)(lin y)......(lim y),

或

     n         n              

lim(y    )=(lim y)

这就是所要证明的。

定理5.变量的n次方根的极限等于变量极限的同次方根，即

    n      1                      

lim   √y=   √lim y

(如n为偶数，就应该预先设y≥0)

证明，设  lim y=b; 且  b≠0; 于是,

y=b+α此处α是无穷小量，考虑等式

     n            n      n     n    

α-b    -   √b=   √b(   √1  +α/b-1)

如再用α   表示无穷小α /b，我们就来证明

        1                    

     n            

1+α    -     1

             1                  

是个无穷小量。     为此，对于差数              

      n            

1+α    -     1

             1                              

乘以再除以

      n          n-1    n            n-2         n      

(1+α    )   +      (1+α    )      +......+     (1+α    )  +1        

             1                 1                        1            

其值不变，同想起裴蜀定理

    n   n        n-1   n-2     n-3  2          n-2   n-1                                        

  a   -b   =(a-b)(a    +a    b+a    b    +......+ab    +b   )                    

注：裴蜀即Безу的译名（参见高中代数）, 这个公式也很容易直接证明：

事实上，表达式：

       n-1    n-2     n-3   2           n-2   n-1                                                                        

a    +a     b+a     b    +......+ab    +b       是公式为b/a的几何级数，

所以依几何级数总和的公式有    

                                              n-1   n-1              

       n-1    n-2     n-3   2           n-2   n-1   a    -b    b/a                                                                    

a    +a     b+a     b    +......+ab    +b    =

                                              1-b/a          

如以a-b乘等式两边，就得到了所需证的公式。  便可得到：    

      n            

1+α    -     1

      1    

n              n         n-1      n          n-2      n  

(    1+α   -1) (   (1+α  )    +       (1+α   )    +…+    (1+α   )  +1)  

        1             1                  1                  1    

=

                n         n-1     n          n-2      n  

  (1+α  )       +    (1+α   )    +…+    (1+α   )  +1

                    1                  1                  1    

                                (1+α   -1）

                                      1          

=

                n         n-1     n          n-2      n  

  (1+α  )        +   (1+α   )    +…+    (1+α   )  +1  

                      1                  1                  1    

                                   α  

                                      1          

=

                n         n-1     n          n-2      n  

  (1+α  )        +    (1+α   )    +…+    (1+α   )  +1  

                      1                  1                  1    

另一方面，α   既然是个无穷小，故从某瞬时起将有│α│<1/2,且

              1  

    │1+α   │≥1-│α   │>1-1/2=1/2      

           1            1

由此则

           1/n      1/n                          

│1+α   │    >(1/2)

       1  

   且

n            n          2     n         n-1       1/n     2/n      (n-1)/n        

│1+   (1+α  )  +     (1+α   )  +…+   (1+α   )  │>1+(1/2)   +(1/2)   +...+(1/2)      

           1              1              1    

     1-1/2           1-1/2      

=              =  

          1/n             1/n        

    1-(1/2)          2[1-(1/2)   ]  

或

               1                                    1/n            

                                            <2[1-(1/2)    ]<2

n            n          2     n         n-1            

1+   (1+α  )  +     (1+α   )  +…+   (1+α   )  

           1              1              1    

由此可知量

               1                                        

(α                                                  )      

1    n             n          2     n         n-1            

1+   (1+α  )  +     (1+α   )  +…+   (1+α   )  

           1               1               1    

是无穷小α    乘以有界量，由2-4定理2知它是个无穷小量，所以

          1            

    n             n          n         n      

   b+α    -      b    =     b   (      (1+α  )  -1)

                                                  1              

是无穷小量，并且

                  n          n         n      

         lim     y    =lim   b   +α =    b

如果b=0,则y=α了，但因为α是无穷小，故,

                  n          n        

                 y    =     α

也必是无穷小量，   这是由于任意给定一个ε>0，   只要,

                 n                

│α│<ε      ,

   便有,

                  n          n        

                 α    <     ε   =ε

并且,

                  n            

         lim      y    =0

又因为现在b=lim y=0, 所以,

                  n          n        

                 y    =    lim y  

因而在这种情况下也有                          

                  n          n        

         lim      y    =     y  

故定理证毕。

定理6.如果一个变量z的值经常夹在另外两个变量x及y中间，设x及y的极限存在且相等，则夹在它们中间的变量z必有极限，且就等于它们的共同极限。即设

x<z<y且lim x=lim y=c

则lim z=c

证明，从不等式各边都减去c，则x-c<z-c<y-c,

如设x-c=α    ,y-c=α    ,

          1        1              

则上述不等式可以写为

α   <z-c<α

   1        2              

依本定理的条件，我们有：

lim α   =lim(x-c)=c-c=0,

     1                  

及

lim α   =lim(y-c)=c-c=0,

     2              

也就是α  及α    都是无穷小量，

        1      2      

根据无穷小的定义，不管对怎样的正数ε，  总能找出一个瞬时，  从那时起

   │ α    │<ε，

          1              

并且从另外一个瞬时起

         │ α    │<ε，

              2    

故从它们中间最迟的一个开始，则│α   │<│α  │都将小于ε，

                                    1        2

或-ε<α<ε及-ε<α<ε 从不等式α   <z-c<α   中代入-ε<α   及α   <ε,  

                                  1        2             1      2

便得-ε<z-c<ε或│z-c│<ε, 即lim z=c, 这就是所要证明的。

2-9.例题

例1.

         lim   1/x=0

        x→∞      

这是非常容易看出的，因为按照条件，在任意这里许可的变化过程中量x是无穷大，而无穷大的倒数是无穷小，所以趋向于零。

值得特别指出的是：本例题恰恰就是我国古代哲学家在极限方面的思想。据春秋时代的哲学家庄周所著：当时雄辩家惠施与墨瞿概括中说过这样的话“矩不方，规不可以为圆”。

意思是说，矩画出来的直线也可构成圆，规画出的圆也可以构成直线

矩是古人在水利工程测量时使用的三角尺，和现在的三角尺相同。由木头制造。

规是古人在水利工程施工时测量的工具，和现在的圆规相同，由木头制造。

由上面的描述可得, 设直线的函数是y=x, 圆的函数是y=2πx, 用n天把直线y=x截成n段，直线就变成一个点，再把n个点围成一圈就构成一个圆y=2πx,

设时间为虚数i在虚数范围内

        lim    x/n =2πx*i/n

       n→∞

上式中,i表示虚数i,n表示实数,

同理可证：

        lim   1/n =2π*i/n

       n→∞

用n天把圆y=2πx截成n段，圆就变成一个点，再把n个点连成一条线就构成一个直线y=x,

设时间为虚数I, 在虚数范围内,

lim   2πx/n=i*x/n

n→∞

上式中,i表示虚数i,n表示实数

同理可证：

lim   2π/n=i /n

n→∞

在虚数范围内,

lim  1/x =2π*i/x

x→∞

例2.同样可以看得出，

             k

lim  1/x  =0,      此处k>0

x→∞

在虚数范围内,

         k       k                  

lim   1/x  =2π*i/x          此处k>0

x→∞

  在虚数范围内,

       k       k                            

lim 1/x   =2π*i/x            此处k>0

x→∞

例1a.

         lim   x=0

        x→∞      

这是非常容易看出的，因为按照条件，

在任意这里许可的变化过程中量x是无穷大，所以趋向于零。

设时间为虚数i,在虚数范围内

        lim    x/n =2πx*i

       x→∞

  设直线的函数是y=x,     圆的函数是y=2πx,     用n天把直线y=x截成n段，直线就变成一个点，再把n个点围成一圈就构成一个圆y=2πx,

设时间为虚数I, 在虚数范围内

        lim    x/n =2πx*i/n

       n→∞

上式中,i表示虚数i,n表示实数

同理可证：

        lim    x =2πx*i

       x→∞

用n天把圆y=2πx截成n段，圆就变成一个点，再把n个点连成一条线就构成一个直线y=x,

设时间为虚数I, 在虚数范围内

lim  2πx/n=i*x/n

     n→∞

上式中,i表示虚数i,n表示实数,

同理可证：

lim  2πx=i*x

     x→∞

例2a.同样可以看得出，

            k              

lim   x    =∞       ,此处k>0  

x→∞

在虚数范围内

      k      k                                  

lim  x   =2πx  *i    ,此处k>0  

x→∞

例3.试求

        2          

lim   (x  -4)

x→3

根据2-5定理1，和定理4，得

      2           2             2         2        

lim  (x  -4)=lim  x   -lim 4=(lim  x)   -lim 4=3  -4=5

x→3       x→3           x→3

例3a.试求

           2                    

   lim   (x   -4)

  x→∞

根据2-5定理1，和定理4，得

         2           2          2                      

lim   (x   -4)=lim  x   -lim 4=2πx   *i-4

x→∞          x→∞                        

例4.试求  

          2                

  x  +3x                  

   lim  

  x→2   2x+1

因为分母的极限不等于零，故根据2-5定理3，得

                          2          

          2         lim  x   +3x        

  x  +3x     x→2              

   lim           =              

  x→2   2x+1       lim  2x+1      

                   x→2  

可见  

                              2        2    

          2         lim  x   +3x     2   +3*2  

  x  +3x     x→2              

   lim           =                 =             =2      

  x→2   2x+1       lim  2x+1          2*2+1

                   x→2  

   我们熟悉了极限的求法后，就不必再写这么多的符号lim了，以后只须在全式前写一个极限符号就够了。

例4a.试求                                      

          2                

  x  +3x                  

   lim  

  x→∞   2x+1

因为分母的极限不等于零，故根据2-5定理3，得

                          2          

          2         lim  x   +3x        

  x  +3x     x→∞              

   lim           =              

  x→∞   2x+1       lim  2x+1      

                   x→∞  

可见  

                          2            2                2                

          2         lim  x   +3x     2πx  *i  +3*2    2πx  *i  +6

  x  +3x     x→∞              

   lim           =                 =              =  

  x→∞   2x+1       lim  2x+1         2*2πx*i+1        4πx*i+1

                   x→∞  

例8.试求

    2                

   lim  

  x→∞   3x+2

当x→∞时，3x+2无限增大，即无穷大量；但其倒数1/(3x+2)是无穷小量(2-6)，可见，设x→∞时，乘积2*1/(3x+2)趋于零。所以

    2                

   lim           =0              

  x→∞   3x+2

例8.试求                    

    2            2             1      

   lim          =             =      

  x→∞   3x+2      3*2π*i/x+2     3π*i/x+1  

例13.试求y=arc ctg (1/(x-c))于x→c点的左右极限。利用2-8所述概念知其左极限为：

lim    arc ctg (1/(x-c))=arc ctg(-∞)=π

x→c-0

而右极限是

lim    arc ctg (1/(x-c))=arc ctg(+∞)=0

x→c+0

其图形如图2-17所示。

例14.试求y=x/(x-1)于x→1时的左右极限。

由2-8知其左极限为：

lim    x/(x-1)=-∞

x→1-0

又其右极限为：

lim   x/(x-1)=+∞

x→1+0

其图形如图2-18所示。

2-10.某些表达式的极限

1.证明，

       n                    

lim  a   =+∞, 设  a>1

n→∞

依假设a>1,并设a-1=h,容易看出h是正数；于是我们有a=1+h, 将等式两边作成n次乘方(n是正整数)，得

  n       n              2                 3            n-1   n          

a   =(1+h)   =1+nh+n(n-1)h   /1*2+n(n-1)(n-2)h   /1*2*3+...nh    +h

因为h是正的，所以在牛顿二项式的展开式中各项都是正的。

注：二项式定理我国宋朝数学家秦九韶在1247年即已发明，比牛顿早约三四百年，

故此定理应改称为秦九韶的二项式定理。

如果在此二项式的展开式中保留第一二项，弃去其余的所有项，那么等式右边的项数就减小了，于是

     n                      

(1+h)    >1+nh

量1+nh在n→∞时是无穷大，因而

  n       n                                

a   =(1+h)     更加是无穷大，即

  n       n

      n

lim  a   =+∞

n→∞

2.证明，      

      n

lim  a   =0,         设  1<a<1

n→∞

事实上，设1/a=b;

                            n          n    

数b>1,则a =1/b    及  lim  a   =lim  1/b     ,

                     n→∞     n→∞

      n                            n              

但量b   是无穷大（依照1）而量1/b     为无穷大的倒数，是无穷小，因而  

        n          

lim  1/b    =0,

n→∞    

由此可见，  

       n          

lim  a    =0,

n→∞    

在已证明的基础上我们有，比方：      

      n          

lim  2    =∞；

n→∞    

       n          

lim  0.3    =0,

n→∞    

          n          

lim  1.25   =∞；

n→∞    

3.几何级数，计算无穷项几何级数

                 2        3           n                              

a   +a   q+a   q   +a   q   +.....+a   q  +.....

0     0    0         0           0

的《总和》, 此处首先要定义的就是《总和》这一名词。

事实上，当我们运用加法去求总和时，都是指将有限个项数相加的意思，但是我们完全不知道，如何求无穷个项数相加的《总和》，因为用通常的方法，无论怎么加我们也不能将无穷个项数全部加尽。为了避免这个困难，我们就用下述的方法去做。

开始求级数的n项之和，并以S    表示这个和，然后求

                             n          

lim  S

n→∞    n

假若这个极限存在（就是假设S   趋向于常数），就叫它做无穷级数的总和。

                             n      

从代数学上大家知道：

                    n        

          a   -a   q         a         a        

            0    0             0        0      n  

  S   =                =         -          q

  n     1-q              1-q       1-q        

量a   /(1-q)是常数（不因n的变化而变化）, 如果  0<q<1，

    0                    

    n                        n                  

则q   趋向于零，如果q>1则q  趋向于∞（参看本节1及2）

所以如果0<q<1，则

                           n          

a  -a  q           a             a              a    

                    0  0              0             0      n       0

lim  S   =  lim              = lim         -  lim          q   =

n→∞  n   n→∞     1-q      n→∞  1-q   n→∞   1-q            1-q  

                n                          

  如果q>1，则q    是无穷大，因而S   的极限不存在：

                                   n

lim  S    =∞

n→∞    n

在第一种情形可以说这个级数收敛，并且它的总和等于

                  a                  

                    n          

S=  lim  S     =

  n→∞    n     1-q    

在第二种情形，可以说这个级数发散。

  3a.几何级数，计算无穷项几何级数

                 2        3           n                              

a   +a   q+a   q   +a   q   +.....+a   q  +.....

0     0    0         0           0

根据引入虚数极限的求法，在原函数上乘以单位虚数i,得

                           n          

a  -a  q           a             a          a     a

                    0  0              0             0    n     0     0    n

lim  S   =  lim              = lim         -  lim        q   =      -     i*q

n→∞  n   n→∞     1-q      n→∞  1-q   n→∞   1-q         1-q   1-q  

4.证明，

    n

lim    a   =1

n→∞

设a是任何正数。分三种情况来证明：

1)a>1,2)a<1,及3)a=1

    n

1)     a   对于a>1就会大于1，设差数

    n

    a   -1=h, 量h  由n的变化而变化，

                      n              

但总保持是正的，从这个等式在确定a时有：

          n              

a=(1+h   )   ,利用不等式（2.7）,得

      n

          n              

a=(1+h   )   >1+nh    

      n

从而                                      

                 a-1      

h  <

n     n  

因为h   是正数，即h   >0，故得两个不等式

      n              n

                 a-1      

0<h  <

n     n  

   注意到    

                 a-1      

lim        =0之后            

n→∞    n  

按照定理6，2-5得

lim   h   =0,但

               n→∞   n    

                   n            

h    =     a -1

             n

所以,

                   n            

lim    a -1   =lim    (1+h   )=1

             n→∞          n→∞       n  

2)如果a<1，则设1/a=b,得到数b大于1，那么

                   n                 1

lim    a    =lim              =1    

             n→∞         n→∞   n  

                       b        

  3)如果a=1,则

                   n        n    

     a   =     1   =1        

   就是说

                   n              

lim    a    =1    

             n→∞      

    在已证明的基础上我们有，比方：    

                   n              

lim    2    =1    

             n→∞    

                   n              

lim    0.5    =1    

             n→∞    

2-12数e

例1.知道

                    1     x

lim  (1+      )    =e          

x→∞      x

试求

                    1/3y

lim  (1+y )          

x→∞    

假定y=1/x,则x=1/y, 且x趋向∞时，y就趋向于零，因而

                    1/3y              1   x/3

lim  (1+y )    =  lim  (1+      )

x→∞           x→∞      x              

                                     1    x  1/3

    =  lim  [(1+      )  ]

           x→∞      x    

                                  1/3

                                =e

例2.试求

                    8     x

lim  (1+      )          

x→∞      x

设8/y=1/y,那么y=x/8, 且当x趋向∞时y也必趋向于∞，所以

                     8  x               1    8y

lim  (1+     )    =  lim  (1+      )

x→∞      x       x→∞      y              

                                     1    y  8

    =  lim  [(1+      )  ]

           x→∞      y    

                                  8

                                =e

例3，设C   是游离物质的克分子量，又设每秒钟此物质有p%起反应，

          0    

求经过t秒后多少克分子起反应。因每秒起反应的物质为p%，所以经一秒后起反应的为：

                       p

                           C     克分子    

                     100     0    

而末起反应的是

                       p

            c   -           C    =c    (1-p/100)

             0        100     0     0

二秒后未起反应的物质等于

C   (1-p/100)-pC   (1-P/100)/100=C   (1-p/100)

  0            0               0

t秒后未起反应的将是

            t          

C   (1-p/100)

  0

上述讨论中，我们只是孤立的看经过每一秒钟的反应情况。然而实际上反应是连续进行的。因此，为了更符合实际，常把反应时间分得更短。

如果用1/n秒作为单位时间，那么在t个单位时间内未起反应的物质将是

            tn          

C   (1-p/100n)

  0

或设p/100=k，则上式即为

          tn          

C   (1-k/n)

  0

因此，未起反应的物质c，当n无限增大时, 即表示反应依照时间的连续延长而连续进行着，我们可根据定理2，将上式求出一个极限，即

                                 k    tn  

               C=   lim C   (1-       )    

                  x→∞   0      n    

                                 k    n   t

                =   lim C   [(1-       )   ]

                  x→∞   0      n    

                                 k    n   t

                =C  [ lim    [(1-       )   ]

                   0  x→∞      n    

如果设-k/n=1/x,则n=-kx, 由此，得,

                                k    n  

                   lim    (1-       )    

                  x→∞        n    

                               1    x   -k

                  = lim   [(1+       )   ]

                  x→∞        x  

                               1    x   -k

                  = [lim   (1-       )   ]

                  x→∞        x    

                     -k        

                  =e  

代入上式，则得未起反应的物质

                       -kt    

C=C   e

                   0  

2-13.自然对数

                              1    n  

       把数     e= lim    (1+       )    =2.718281828......作为对数系统的底时，  

                  x→∞       n    

所成的对数就叫做自然对数。自然对数的符号用《ln N》来表示, 这样，就可以把它与以10为底的对数《log N》区别开来。在分析数学中广泛的应用自然对数，因为用自然对数时，某些公式写起来就更为简单醒目, 我们对同是一个数N来求以10为底的对数（常用对数）与自然对数间的关系。

                   x      

假设ln N=y,那么N=e    , 对等式两边取以10为底的对数则得：

log N=ylog e或，由于y=ln N, 所以

log N=ln N log e       (2.13）

把量log e=log2.71828......=0.43429......,叫做《变换的模》，并用文字M来表示：

M=log e=0.43429....      (2.14）

按照公式（2.13），知道数N的自然对数时，就能求出其以10为底的对数，为了求出自然对数，可按已给定的以10为底的对数，改写公式(2.13)成：

                   log N      

ln N=                 (2.15）

           log e      

为了便于计算起见，再引入《变换的模》的倒数,

                    1       1

        =        =2.30253....    (2.16）

           M      log e

比方，按照公式(2.15)可以求得

ln2=log 2*2.30258=0.30103*2.30258=0.69315,

ln10=log 10*2.30258=2.30258,

从此，我们发现了一个实用的恒等式：

           log   b*log   a=1

              a       b      

                          x                                                

事实上，设x=log   a,则a=b     ,

                b

如果对此等式的两边取以a为底的对数，便得

log   a=xlog   b，或x=1/log   b

   a        a             a    

比较x的两个表达式，有log   a=1/log   b

                          b        a                      

这就是所要证明的。

3-4.正弦与其弧之比的极限

定理，如果弧趋向于零，则正弦与其弧之比的极限等于1，即

                   sinx    

lim            = 1              

    x→0     x  

这里弧是用弧度量度的。

证明，选取半径为1的圆（图3-11）：作角∠AOB，其弧度用x来表示，并且看出∠AOC=2x, 过圆周上两点A和C作两条切线，相较于D，

这时弦AC小于弧ABC而弧却又小于折线ADC（弧长永远小于折线），即

AC<ABC<AD+DC

但, AC=2sinx,ABC=2x,AD+DC=2tgx, 所以, 2sinx<2x<2tgx

以2sinx除不等式各项（设x是正的），则得

                   sinx       1

1<          <              

            x       cosx      

当x→0时，左面的极限等于1，右面的极限也等于1，按2-5中的定理6，则有

                   sinx      

lim         =1    

   x→0      x      

由此

                   sinx            1          

lim         =  lim         =1          

   x→0      x     x→0    x

                         sinx                  

因为sin(-x)=-sinx,所以定理对于x为负是仍然正确。

例1，试求

                   tgx            sinx        sinx      1

lim         =  lim        = lim            

   x→0      x    x→0   xcosx  x→0   x      cosx

                                 sinx          1  

         =  lim         lim         =1  

                   x→0     x  x→0   cosx  

例2.试求

                   sinαx      

lim         =1    

   x→0      x      

为了利用公式,

                   sinx      

lim         =1    

   x→0      x      

必须变换分式成这样，使它变成弧的正弦对次弧的比例式：

为此目的，在我们的分式上除上一个α，然后再乘上一个α

                   sinx     sinαx

        =         *α    

            x       αx

于是，我们有

                  sinαx           sinαx             sinαx    

lim         =  lim         *α=  α*lim       =α*1=α

   x→0      x    x→0   αx           x→0  αx

例3.试求

                   1-cosx      

lim            

             x→0     2

                    x  

                         2        

变换分式，代换1-cosx=2sin   (x/2), 得到

                                    2        

                  1-cosx         2sin  (x/2)      sin (x/2)   2

lim         =  lim            =lim(         )  *2/4=1/2

   x→0      2    x→0      2      x→0    x/2

                    x             x  

例4.试求

                   cosmx-cosnx    

lim            

             x→0         2

                        x  

利用三角公式变换，则得到

                   cosmx-cosnx          -2sin[(m+n)x/2]*sin[(m-n)x/2]

lim               =   lim

             x→0         2      x→0            2      

                        x                     x

                    1     -sin[(m+n)x/2]*sin[(m-n)x/2]

= lim                                   (m+n)(m-n)  

             x→0   2      [(m+n)x/2]*[(m-n)x/2]  

                             2    2        

=-(m+n)(m-n)/2=(n   -m  )/2

例5.试求

                x      x

lim  2  sin(n/2   )

         x→0

为了利用公式

                   sinx      

lim         =1    

            x→0      x    

                      x            x

我们知道当x→∞时，2   →∞，而1/2   →0, 因此可以将它变为

                                             x

                x      x               sin n/2

lim  2  sin(n/2   )  = lim

         x→0                   x           x  

                             1/2  →0    1/2

                                             x

                                       sin n/2

  = lim             *n

                                x           x  

                             1/2  →0    n/2    

                                             x

                                        sin n/2

  =n* lim             =n

                                  x           x  

                               1/2  →0    n/2