用乘法器，除法器，加法器，减法器可以按照公式进行组合连接，进而计算出积分。

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推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译

例1.

            √x

          e    

                 dx

          √x

      2

设x=t    ,则有

            √x               t

          e                 e                 t       t       √x                

                 dx=            2tdt=2       e   dt=2e   +C=2e    +C

          √x                t

例4.

           dx                 dx              d(x+3)                

                  dx=                =                 =arctg9x+3)+C

          2                   2                 2      

x   +6x+10        (x+3)   +1         (x+3)   +1

例1.

        3    2              3            2                            

(4x  -2x  -5x-3)dx=4        x   dx-       2x  dx+        5xdx-       3dx  

  4         3       2  

     x         x        x

=4        -2       +5      -3x+C

     4         3        2

                   2  

     2     3     x    

=x-       x   +5        -3x+C

     3            2    

例13.

        3              2                  2        

tg   xdx=        tg  xtgxdx=       (sec   x-1)tgxdx=          

              2                  

=        tgxsec  xdx-       tgxdx=        tgx dtgx-        tgx dx use利用公式6.12      

     2

   tg   x

=          +lncosx+C    利用公式6.4及本节例9)

     x

例9.

                 sinx             d(cosx)  

tg xdx=            dx=              =-ln cosx  +C

            cosx             cosx              

指数函数的积分

     x      

  d(a   )     x        

         =a   lna

    dx

              x      

     1     d(a   )     x        

                   =a  

   lna      dx

        x      

      a      

  d(      )        x        

     lna       =a  

    dx

               x  

       X      a      

a  dx=         +C  

             lna        

特别的，上式中当a=c时，得

       x     x      

e  dx=e   +C  

积分表        

kdx=kx+C  

       μ     1     μ-1

x  dx=        x    +C    (μ≠-1)

             μ+1                      

dx/x=ln│x│+C  

        x      x              

      a   dx=a   /lna+C

当a=e时，

        x      x              

      e   dx=e    +C

      cosxdx=sinx   +C

      sinxdx=-cosx   +C

          2        

      sec   xdx=tgx    +C

          2        

      csc   xdx=-ctgx    +C

      secxtgxdx=secx    +C

      cscxctgxdx=-cscx   +C

        dx          

               =arcsinx+C=-arccosx     +C

          2

1-x

        dx          

               =arctgx+C=-arcctgx   +C

          2

1-x

      shxdx=chx   +C

       chxdx=shx  +C

        m      m+1        

      x    dx=x     /(m+1)+C

      dx/x=         d(-x)/(-x)=log│x│+c

        x      x      

      a    dx=a    /log a    +c

       cosxdx=sinx   +C

      sinxdx=-cosx  +C

            2          

      dx/cos   x=tan x    +c

                 2       ±arc sinx+c    

      dx/     1-x     ={

                         ±arc cosx+c

            2          

      dx/ (x   +1)  =arc tanx+c

      chxdx=shx+c

      shxdx=chx+c

           2      

      dx/ch   x=thx+c

               2      

      dx/     x  -1   =±argchx+c

             2          

       dx/(1-x   )=±argthx+c

推导参见《理化用高等算学》,J.W.Mellor著，徐朔均译，商务印书馆1912年出版

y=sinhx         dy/dx=coshx                   coshxdx=sinhx

y=coshx         dy/dx=sinhx                   sinhxdx=coshx

                         2    

y=tanhx         dy/dx=sech   x                sechxdx=tanx

                            2                       2      

y=cothx         dy/dx=-cosech  x               cosech   xdx=-cothx

                               2                      2      

y=sechx         dy/dx=-sinhx/cosh   x          (sinhx/cosh  x)dx=-sechx

                               2                      2      

y=cosechx       dy/dx=-coshx/sinh   x         (coshd/sinh   x)dx=-cosechx

                            2                      2      

y=arcsinh x       dy/dx=1/   x  +1             dx/   x   +1 =arcsinh x

                            2                      2      

y=arccosh x       dy/dx=1/   x  -1             dx/   x   -1 =arccosh x

                           2                         2      

y=arctanh x       dy/dx=1/(1-x   ), x<1           dx/(1-x    ) =arctanh x

                         2                       2      

y=arccoth x       dy/dx=1/(x  -1), x<1           dx/(x   -1) =arccoth x

                              2                      2      

y=arcsech x       dy/dx=1/(x   1-x   )          dx/(x  1-x   ) =-arcsech x

                              2                     2      

y=arc cosech x     dy/dx=1/(x   x  +1)          dx/(x  x  +1 ) =-arc cosech x

    u                     n-1                   n      n+1          

u=x               du/dx=nx                     x   dx=x   /(n+1)  

    x                    x                  n   x      x  

u=a               du/dx=a   log  a             a   dx=a   /log  a

                               e                             e  

    x                    x                  n   x      x  

u=e               du/dx=e                     e   dx=e

                                          n    

u=log  x          du/dx=1/x                    dx/x=log  x

     e                                              e

u=sinx            du/dx=cosx                   cosaxdx=sinax/a

u=cosx            du/dx=-sinx                   sinaxdx=-cosax/a

                          2                      2

u=tanx            du/dx=sec  x                 sec   axdx=-tanax/a

                           2                      2

u=cotx            du/dx=-cosec  x              cosec   axdx=-cotax/a

                             2                       2

u=secx           du/dx=sinx/cos   x             (sinx/csc   x)dx=secx

                              2                       2

u=cosecx           du/dx=cosx/sin   x            (cosx/sin   x)dx=-cosecx

                              2                        

y=arcsin x         dy/dx=1/   1-x            

                                                    2      =arc sin  (x/a)

                                    }       dx/    a   -x={    

                              2                            =-arccos  (x/a)

y=arccos x        dy/dx=-1/   1-x          

                              2                        

u=arctan  x         dy/dx=1/ (1+x   )            

                                                    2      =[arc tan  (x/a)]/a

                                    }       dx/    a   +x={    

                             2                            =-[arc cot  (x/a)]/a

y=arccos x        dy/dx=-1/(1+x   )        

                             2                        

u=arc sec x       du/dx=1/x   x   -1            

                                                     2      =[arcsec  (x/a)]/a

                                    }       dx/(x   x   -a={    

                              2                            =-[arc cosec  (x/a)]/a

u=arc cosec x     du/dx=-1/x   x   -1          

u=arc vers  x    du/dx=1/     2x-x            

                                                      2        =arc vers   x

                                    }       dx/    2x-x      ={    

                              2                                =-arc covers  x

u=arc covers  x   du/dx=-1/   2x-x        

                 2   2      -1                        2   2      -1    

        dx/    x   +a   =sinh  (x/a)            dx/    a  -x    =sin   (x/a)      

                 2   2      -1                        2   2      -1    

        dx/    x   -a   =cosh  (x/a)            -dx/    a  -x    =cos   (x/a)      

           2   2       -1                           2   2      -1        

      dx/(a  -x   )=[tanh  (x/a)]/a 设x<a,         dx/(a  +x   )=[tan  (x/a)]/a

           2   2       -1                           2   2      -1        

      -dx/(a  -x   )=[coth  (x/a)]/a 设x>a,         -dx/(a  +x   )=[cot  (x/a)]/a

                 2   2      -1                        2   2      -1    

         -dx/   a  -x   =[sech  (x/a)]/a           dx/   x  -a    =[sec  (x/a)]/a  

                 2   2      -1                         2   2      -1    

         -dx/   a  +x   =[cosech  (x/a)]/a         dx/   x  -a    =[cosec  (x/a)]/a  

                                        2          

      sechxdx=gdx                               secxdx=gd    x

推导过程参见《微积分》，上海科学技术出版社1978年出版              

       n     1     n-1

x  dx=        x    +C    (n≠-1)

             n+1                        

dx/x=ln│x│+C  

     dx/(a+bx)=ln│a+bx│/b+C

       ax     1    ax

e  dx=      e    +C

              a                        

              x  

       x     a

a  dx=      +C

             lna                        

                       x          

log  xdx=xlog  x-      +C

         a         a   lna  

   当a=e时，                  

lnxdx=xlnx-x+C

       dx          1    x-a

=      ln        +C

      2   2       2a    x+a            

     x  -a        

       dx          1    a+x

=      ln        +C

      2   2       2a    a-x            

     a  -x        

       dx          1    x+a

=      ln        +C

     (x+a)(x+b)    b-a    x+b                        

       dx          1        x

=      arctg        +C

      2   2        a        a            

     x  +a        

       dx              x

= arcsin        +C

      2   2            a                  

     a  -x        

       dx                  2     2            

=ln│x+     x   ±a  │+C  

      2   2                            

     x  ±a        

                                     2

       2   2       x      2    2    a        x

a   -x  dx=        a   -x   +     arcsin     +C

                   2                2         a

                                     2

       2   2       x      2    2    a              2    2  

x  ±a  dx=        x   ±a   ±     ln│x+     x   ±a  │+C

                   2                2        

sinaxdx=（-cosx)/a  +C

     cosaxdx=(sinx)/a  +C  

     tgxdx=-ln│cosx│ +C

     ctgxdx=ln│sinx│ +C

     secxdx=      dx/cosx=ln│tg(π/4+x/2)│+C=ln│secx+tgx│+C

     cscxdx=       dx/sinx=ln│tg(x/2)│+C =ln│cscx-ctgx│+C

        2  

     sin  xdx=x/2-(sin2x)/4+C

        2  

     cos  xdx=x/2+(sin2x)/4+C

          2  

     dx/cos  x=tgx+C

          2  

     dx/sin   x=-ctgx+C

                  n-1        

        n      sin   xcosx    n-1           n-2        

     sin  xdx=-            +             sin  xdx

                    n         n

                 n-1        

        n      cos   xsinx    n-1          n-2        

     cos  xdx=-            +            cos  xdx

                    n         n

                     sin(m+n)x    sin(m-n)x

     sin mx*sin nxdx=-           +            +C

                      2(m+n)     2(m-n)

                     sin(m+n)x    sin(m-n)x

     cos mx*cos nxdx=           +            +C

                      2(m+n)     2(m-n)

                     cos(m+n)x    cos(m-n)x

     sin mx*cos nxdx=-           -            +C

                      2(m+n)     2(m-n)

以上三式中m-n≠0，即m≠n

                                2   2

     arcsin(x/a)dx=xarcsin(x/a)+    a  -x   +C

                                2   2

     arccos(x/a)dx=xarccos(x/a)-    a  -x   +C

                               2   2

     arctg(x/a)dx=xarctg(x/a)-[a*ln(a  +x  )]/2+C

                   ax      

       ax         e   (asin nx-ncos nx)

     e  sin nx dx=           -          +C

                        2   2

                      a   +n

                   ax      

       ax         e   (asin nx+ncos nx)

     e   cos nx dx=           -          +C

                        2   2

                      a   +n

                 ax      

       ax       e  

     xe   dx=         (ax-1)+C    (a≠0)

                  2

                a  

                 n  ax      

         ax     x  e       a           n-1  ax          

     x  e   dx=        -              x    e  dx  

                  a       a

上表中a,b,m,n都是给定的常数          

推导过程参见《高等混合算学下册》，商务印书馆1925年出版，梧兹（Woods），巴雷（Bailey）著，长沙易俊元译

       n     1      n+1

u  dx=        u    +C    (n≠-1)

             n+1                        

du/u=logu

     cosxdx=sinx

     sinxdx=-cosx

         2    

     sec  xdx=tgx

        2    

     csc  xdx=-ctgx

     secxtgxdx=secx

     cscxctgxdx=-cscx

     tanudu=logsec u

     cotudu=logsin u

     secudu=log(secu+tanu)=logtan(π/4+u/2)

     cscudu=log(cscu-cotu)=logtan(π/2)

       du      

             =arcsin (u/a)或-arccos (u/a)

       2   2            

     a   -u

       du      

             =[arctan (u/a)]/a或-[arccos(u/a)]/a

       2   2            

     a   +u

       du      

             =[arcsec (u/a)]/a或-[arccsc (u/a)]/a

       2   2            

u    u   -a

       du                2    2

             =log(u+    u   +a   )或arcsinh(u/a)

       2   2            

    u  +a

       du                2    2

             =log(u+    u   -a   )或arccosh(u/a)

      2   2            

   u  -a

       du       1                  1                   -1

             =     log[(u-a)/(u+a)]或     log[(a-u)/(a+u)]或     arc tanh (u/a)

       2   2    2a                 2a                  a

     u   -a

       u      u

     e   du=e

       u     u          

     a  du=a   /loga+C

推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译

以下的公式是置换积分的第二个重要方法。

分部积分公式

设u及v是以x为自变量的二个函数：

u=φ(x),v=f(x), 那么公式成立    

     udv=uv-        vdu      6.17

事实上，按公式（4）4-13有d(uv)=udv+vdu,从而得

udv=d(uv)-vdu

对此等式两边取积分后，就得到我们的公式，应用这个公式的方法，

首先注意被积表达式中的dx都含于dv内，我们要取dv使其所含的因式易于积分，且须将被积表达式中其余的因式作为u而使其微分后的du不复杂就行了。

例20.求    

     x*sinxdx

设dv=sinxdx,u=x, 则, v=-cosx,du=dx, 及

     x*sinxdx=-xcosx+       cosxdx=-xcosx+sinx+C      

例21.求    

     arctgxdx

设dv=dx,u=arctgx, 于是

          1    

v=x,du=         dx

            2      

        1+x        

及

                            xdx

     arctgxdx=xarctgx-            

                               2      

                           1+x

                               2                

                  1       d(1+x  )

      =xarctgx-            

                  2           2  

                           1+x

                  1         2

      =xarctgx-        ln(1+x   )+C    

                  2      

例22.求  

     lnxdx

设dv=dx,u=lnx, 那么, v=x,du=dx/x, 及

     lnxdx=xlnx-       dx=xlnx-x+C            

例23.求    

       2   ax  

     x   e   dx

        ax      2

设dv=e   dx,u=x     , 则    

           ax      ax                    

v=       e   dx=e   /a,du=2xdx

故,

                               ax           ax

            2   ax     2     e            e

          x   e   dx=x    *      -            2xdx                                  

                             a            a

       2   ax            ax           ax  

     x   e     2       e            e

   =        -     [x*      -             dx]

       a       a       a            a      

       2   ax                    

     x   e     2x     ax      2    ax

   =        -       e    +        e   +C

       a        2              3      

              a              a      

         ax                    

       e      2   2x        2

   =        (x  -       +        )+C

       a           a         2    

                           a      

例24.求  

       lnx      

             dx

          2

     (x+1)

令

       dx      

dv=         , u=lnx, 则,

          2

     (x+1)

       1           dx  

v=-         , du=

      x+1           x  

故

                                 dx

      lnxdx        1              x

             =-       lnx+                      

          2      x+1            x+1        

     (x+1)

      1                 A       B

   =      lnx+       (       +       )dx      

      x+1                x      x+1        

而(x+1)A+Bx=1,

∴A=1,B=-1

∴                                

      dx          dx

          -      (     =lnx-ln(x+1)+C      

       x          x+1        

  因而,                              

     lnxdx       1

            =-        lnx+lnx-ln(x+1)+C

         2     x+1        

     (x+1)

                x

            =       lnx-ln(x+1)+C

               x+1

例25.求

             3                  

          sec  xdx

因为,

             3                   2

          sec  xdx=       secx*sec  xdx    

                          （u）   (dv)

    =secx*tgx-       tgx*secstgxdx

                           2    

    =secx*tgx-       secx(sec  x-1)dx

                      2      

    =secx*tgx-       sec  xdx+       secxdx

所以移项得

               2      

    2       sec  xdx=secxtgx+       secxdx

               secx(secx+tgx)dx

=secx*tgx+                  

                  secx+tgx

               d(secx+tgx)

=secx*tgx+                  

                 secx+tgx

=secx*tgx+ln(secx+tgx)+C

最后得last

   3       1             1          

sec  xdx=       secxtgx+      ln(secx+tgx)+C

           2             2

例26.求

            2                  

          e   sinnxdx

令

             ax        

dv=sinnxdx,u=e

则

   1              ax

v=     cosnx,du=ae   dx

   n

代入得,

          ax        1    ax        a           ax      

e  sinnxdx=      e  cosnx+            e  cosnxdx

                    n             n

求末项的积分得

              ax    

dv=cosnxdx,u=e

则

   1                 ax

v=     sinnx及  du=ae   dx

   n

代入得,

          ax        1    ax        a           ax      

e  cosnxdx=      e  sinnx+            e  sinnxdx

                    n             n

因此得

                     ax                  2    

          ax        e                   a          ax      

e  sinnxdx=      (asinnx-ncosnx)-            e  sinnxdx

                     2                  2

n                 n  

移项，再以左边合并后的系数除两边则得

                     ax                    

          ax        e   (asinnx-ncosnx)  

e  sinnxdx=                     +C

                       2    2

                     a   +n    

当分母不为0时，极限的求法

推导过程可参见1946年版《大学教本微积分学》，周梦鏖译，龙门联合书局出版

                   2        

                 x   -4

            lim           =4

           x→2   x-2

           lim   (x+2)=4

           x→2  

  当分母为0时，极限的求法，如下所示

例2: 证明

                   2          

                 2x   -2

            lim           =4

           x→1    x-1

这不算证明，现在用定义证明，这里

                   2          

                 2x   -2

            f(x)=           =4 , A=4,x   =1,

                   x-1              0

因为,

                    2                  2      

                 2x   -2            2(x  -2x+1)    

     │f(x)-A│=             -4  =                 =2│x-1│,(x≠1)  

                   x-1                 x-1    

所以对于任意给定的ε>0，要使│f(x)-A│<ε，就应取│x-x   │=│x-1│<ε/2,

                                                     0

因此应取δ=ε/2,当：0<│x-x   │=│x-1│<δ=ε/2, 时，就恒有

                           0

│f(x)-A│=2│x-1│<2*ε/2=ε, 由此可知

                   2          

                 2x   -2

            lim           =4

           x→1    x-1

综上所述：当x-1<δ时，f(x)-4<ε, 所以f(x)在x→1的时，极限是4

第三部分 不定积分计算电路

计算sinx导数的电路

因为because

             △y             sin(x   +△x)-sinx  

(sinx)`=  lim         =  lim                      =cosx=t  

      △x→0  △x     △x→0         △x    

用直流电源电压表示x,t,s的数值，用乘法器，除法器，减法器，表示上面等式，用电压表测量等式两端电压相等时，s的输出是正整数时，这时t的输出电压值就是极限值4.

        sin(x+△x)-sinx -t*△x

设g(x)=                     =s*△x

                △x

下面的电路实现的上面公式的功能,用加法器，乘法器，加法器除法器按上面的公式进行计算。等号表示两端电压相等。

调节s,t,x,△x的电压输出，使乘法器A，除法器A输出的电压相等，调节电位器使x,△x,s,t输出的电压值不断变化，用电压表测量s是正整数时，t的输出值就是函数sinx在△x→0时的极限。

计算sinx的导数的过程和求下面极限的过程相似

          2      

        2x  -2-t(x-1)

             =s(x-1)

           x-1

          2      

        2x  -2

lim         =4

x→1     x-1

因为,

               2            

             2x  -2           2(x  -2x+1)  

│f(x)-A│=           -4   =                =2│x-1│,(x≠1)

              x-1                x-1

计算cosx不定积分的电路

sin(x+△x)-sinx=△x*(s*△x+t),

设sinw=sin(x+△x)-sinx,

sinw=△x*(s*△x+t),

其中t=cosx, sinw=△x*(s*△x+cosx),

        sin(x+△x)-sinx -t*△x

                     =s*△x

                △x

下面的电路实现的上面公式的功能,用加法器，乘法器，加法器除法器按上面的公式进行计算。等号表示两端电压相等。

调节s,t,x,△x的电压输出，使乘法器A，除法器A输出的电压相等，调节电位器使x,△x,s,t输出的电压值不断变化，用电压表测量s是正整数时，t的输出值就是函数sinx在△x→0时的极限。

2.计算lnx导数的电路

下面的电路实现的上面公式的功能,用加法器，乘法器，加法器除法器按上面的公式进行计算。等号表示两端电压相等。

调节s,t,x,△x的电压输出，使乘法器A，除法器A输出的电压相等，调节电位器使x,△x,s,t输出的电压值不断变化，用电压表测量s是正整数时，t的输出值就是函数sinx在△x→0时的极限。

             △y             ln(x+△x)-lnx  

(lnx)`=  lim         =  lim                =1/x=t

      △x→0  △x     △x→0     △x  

        ln(x+△x)-lnx-t*△x

设g(x)=                  =s*△x

                △x

计算sinx的导数的过程和求下面极限的过程相似

          2    

        2x  -2-t(x-1)

            =s*△x

            △x

              2

         2x  -2            

  lim         =4

      △x→0   x-1    

因为,

             2                2      

           2x  -2          2(x  -2x+1)

│f(x)-A│=         -4   =               =2│x-1│,(x≠1)

            x-1              x-1    

4.计算1/x不定积分的电路

下面的电路实现的上面公式的功能,用加法器，乘法器，加法器除法器按上面的公式进行计算。等号表示两端电压相等。

调节s,t,x,△x的电压输出，使乘法器A，除法器A输出的电压相等，调节电位器使x,△x,s,t输出的电压值不断变化，用电压表测量s是正整数时，t的输出值就是函数sinx在△x→0时的极限。

ln(x+△x)-lnx=△x*(s*△x+t)

设

lnw=ln(x+△x)-lnx，lnw=△x*(s*△x+t)，

其中t=1/x，lnw=△x*(s*△x+1/x)

        ln(x+△x)-lnx-t*△x

                  =s*△x

                △x

         2  

5. 计算2t  -3t+5导数的电路

下面的电路实现的上面公式的功能,用加法器，乘法器，加法器除法器按上面的公式进行计算。等号表示两端电压相等。

调节s,t,x,△x的电压输出，使乘法器A，除法器A输出的电压相等，调节电位器使x,△x,s,t输出的电压值不断变化，用电压表测量s是正整数时，t的输出值就是函数sinx在△x→0时的极限。

        2  

v=S`=(2t  -3t+5)`=4t-3

                    2              2                      

             2(t+△t)   -3(t+△t)+5-(2t  -3t+5)-m*△t

                                                =n*△t

                          △t

7. 计算4t-3积分的电路

下面的电路实现的上面公式的功能,用加法器，乘法器，加法器除法器按上面的公式进行计算。等号表示两端电压相等。

调节s,t,x,△x的电压输出，使乘法器A，除法器A输出的电压相等，调节电位器使x,△x,s,t输出的电压值不断变化，用电压表测量s是正整数时，t的输出值就是函数sinx在△x→0时的极限。

        2

v=S`=(2t  -3t+5)`=4t-3

        2             2                      

2(t+△t)   -3(t+△t)+5-(2t  -3t+5)-m*△t=△t*（n*△t+m)

         2  

设f(t)=2t  -3t+5

            2             2  

f(w)=2(t+△t)   -3(t+△t)+5-(2t  -3t+5)

f(w)=△t*（n*△t+m)，

其中m=4t-3，

f(w)=△t*（n*△t+4t-3)，

第四部分 积分计算电路

1.下面电路实现计算下面的积分的功能

           dx              dx              d(x+3)  

          =               =                =arctg(x+3)+C

          2                  2                2

        x  +6x+10        (x+3)   +1       (x+3)   +1

电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。

前面的电路是计算得到原函数的电路。

做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，

再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。

电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值

后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路

计算arctg(x+3)导数的电路    

           dx              dx              d(x+3)  

   -      =               =                =arctg(x+3)+C

          2                  2                2

        x  +6x+10        (x+3)   +1       (x+3)   +1

下面的电路实现的上面公式的功能,用加法器，乘法器，加法器除法器按上面的公式进行计算。等号表示两端电压相等。

调节s,t,x,△x的电压输出，使乘法器A，除法器A输出的电压相等，调节电位器使x,△x,s,t输出的电压值不断变化，用电压表测量s是正整数时，t的输出值就是函数sinx在△x→0时的极限。

                   △y           arctg(x+△x+3)-arctg(x+3)      1

[arctg(x+3)]`=  lim         =  lim                       =             =t

           △x→0  △x     △x→0     △x                  2    

                                                         x  +6x+10

        arctg(x+△x+3)-arctg(x+3)-t*△x

设g(x)=                            =s*△x

                △x

计算不定积分的电路

           dx              dx              d(x+3)  

   -      =               =                =arctg(x+3)+C

          2                  2                2

        x  +6x+10        (x+3)   +1       (x+3)   +1

                   △y           arctg(x+△x+3)-arctg(x+3)      1

[arctg(x+3)]`=  lim         =  lim                       =             =t

           △x→0  △x     △x→0     △x                  2    

                                                         x  +6x+10

        arctg(x+△x+3)-arctg(x+3)-t*△x

                                   =s*△x

                △x

arctg(x+△x+3)-arctg(x+3)=△x*(s*△x+t),

下面的电路实现的上面公式的功能,

arctg(x+△x+3)-arctg(x+3)=△x*(s*△x+t),

设arctgw=arctg(x+△x+3)-arctg(x+3)，arctgw=△x*(s*△x+t)

            1

其中t=

          2

        x   +6x+10

                     1

arctgw=△x*(s*△x+             0

                    2

                  x   +6x+10

22.下面电路实现计算下面的积分的功能

                 ax      

       ax       e  

     xe   dx=         (ax-1)+C    (a≠0)

                  2

                a  

电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。

前面的电路是计算得到原函数的电路。

做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，

再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。

电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值

后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路

           ax

         e  

计算           (ax-1) 导数的电路

          2

        a

                 ax      

       ax       e  

     xe   dx=         (ax-1)+C    (a≠0)

                  2

                a  

                                  a(x+△x)               ax      

                                e                     e      

                                         [a(x+△x)-1]-       (ax-1)

     ax                              2                  2    

    e               △y            a                  a              ax    

[       (ax-1)]=  lim       = lim                                    =xe  dx=t

      2       △x→0 △x  △x→0              △x

    a

设g(x)=

                                  a(x+△x)               ax      

                                e                     e      

                                         [a(x+△x)-1]-       (ax-1) -t*△x

                                     2                  2    

            a                  a                    

                                       =s*△x

                 △x

下面的电路实现的上面公式的功能,用加法器，乘法器，加法器除法器按上面的公式进行计算。等号表示两端电压相等。

调节s,t,x,△x的电压输出，使乘法器A，除法器A输出的电压相等，调节电位器使x,△x,s,t输出的电压值不断变化，用电压表测量s是正整数时，t的输出值就是函数sinx在△x→0时的极限。

        ax

       e

计算        不定积分的电路

        2

      a  

                 ax      

       ax       e  

     xe   dx=         (ax-1)+C    (a≠0)

                  2

                a  

下面的电路实现的上面公式的功能

                 a(x+△x)                ax    

                e                     e        

                         [a(x+△x)-1]-        (ax-1) =△x*(s*△x+t)

                  2                     2      

                a                      a

设

                 a(x+△x)                ax    

       aw      e                     e        

    we   =              [a(x+△x)-1]-        (ax-1)

                  2                     2      

                a                      a

  aw

we   =△x*(s*△x+t)

           aw

         e  

其中t=

           2

         a

                     aw

                    e

we   =△x*(s*△x+         )

                      2

                     a  

第五部分 积分计算电路

推导过程参见《微积分》，上海科学技术出版社1978年出版

1.下面电路实现计算下面的积分的功能

kdx=kx+C

用乘法器将k和x相乘即可

2.下面电路实现计算下面的积分的功能

       n     1     n-1

x  dx=        x    +C    (n≠-1)

             n+1    

根据上面的公式，幂函数的积分等于原来的幂次数加上1，行程新的幂函数，再用这个幂函数除以原来的幂次数加上1。

电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。

前面的电路是计算得到原函数的电路。

做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，

再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。

电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值

后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路

3.下面电路实现计算下面的积分的功能

     根据上面的公式，幂函数的积分等于原来的幂次数加上1，行程新的幂函数，再用这个幂函数除以原来的幂次数加上1。

电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。

前面的电路是计算得到原函数的电路。

做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，

再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。

电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值

后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路

dx/x=ln│x│+C  

4.下面电路实现计算下面的积分的功能

              x  

       x     a

a  dx=      +C

             lna    

当a=e时    

       x     1     x

e  dx=      e    +C

              a        

  根据上面的公式，幂函数的积分等于原来的幂次数加上1，行程新的幂函数，再用这个幂函数除以原来的幂次数加上1。

电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。

前面的电路是计算得到原函数的电路。

做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，

再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。

电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值

后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路

5.下面电路实现计算下面的积分的功能

     cosxdx=(sinx)  +C  

根据上面的公式，幂函数的积分等于原来的幂次数加上1，行程新的幂函数，再用这个幂函数除以原来的幂次数加上1。

电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。

前面的电路是计算得到原函数的电路。

做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，

再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。

电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值

后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路

6.下面电路实现计算下面的积分的功能

     sinxdx=-cosx+C  

   根据上面的公式，幂函数的积分等于原来的幂次数加上1，行程新的幂函数，再用这个幂函数除以原来的幂次数加上1。

电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。

前面的电路是计算得到原函数的电路。

做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，

再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。

电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值

后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路

7.下面电路实现计算下面的积分的功能

        2  

sec   xdx=tgx +C

   根据上面的公式，幂函数的积分等于原来的幂次数加上1，行程新的幂函数，再用这个幂函数除以原来的幂次数加上1。

电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。

前面的电路是计算得到原函数的电路。

做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，

再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。

电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值

后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路

8.下面电路实现计算下面的积分的功能

        2  

csc   xdx=-ctgx    +C

   根据上面的公式，幂函数的积分等于原来的幂次数加上1，行程新的幂函数，再用这个幂函数除以原来的幂次数加上1。

电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。

前面的电路是计算得到原函数的电路。

做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，

再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。

电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值

后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路

          9.下面电路实现计算下面的积分的功能

secxtgxdx=secx    +C

   根据上面的公式，幂函数的积分等于原来的幂次数加上1，行程新的幂函数，再用这个幂函数除以原来的幂次数加上1。

电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。

前面的电路是计算得到原函数的电路。

做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，

再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。

电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值

后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路

10.下面电路实现计算下面的积分的功能

cscxctgxdx=-cscx   +C

  根据上面的公式，幂函数的积分等于原来的幂次数加上1，行程新的幂函数，再用这个幂函数除以原来的幂次数加上1。

电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。

前面的电路是计算得到原函数的电路。

做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，

再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。

电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值

后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路

11.下面电路实现计算下面的积分的功能

       dx              

=arcsinx+C=-arccosx  +C

          2                          

     1  -x        

  根据上面的公式，幂函数的积分等于原来的幂次数加上1，行程新的幂函数，再用这个幂函数除以原来的幂次数加上1。

电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。

前面的电路是计算得到原函数的电路。

做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，

再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。

电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值

后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路

12.下面电路实现计算下面的积分的功能

根据上面的公式，幂函数的积分等于原来的幂次数加上1，行程新的幂函数，再用这个幂函数除以原来的幂次数加上1。

电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。

前面的电路是计算得到原函数的电路。

做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，

再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。

电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值

后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路        

       dx          

==arctgx+C=-arcctgx   +C      

          2                

     1  -a    

13.下面电路实现计算下面的积分的功能

shxdx=chx   +C

根据上面的公式，幂函数的积分等于原来的幂次数加上1，行程新的幂函数，再用这个幂函数除以原来的幂次数加上1。

电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。

前面的电路是计算得到原函数的电路。

做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，

再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。

电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值

后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路

14.下面电路实现计算下面的积分的功能

chxdx=shx  +C

根据上面的公式，幂函数的积分等于原来的幂次数加上1，行程新的幂函数，再用这个幂函数除以原来的幂次数加上1。

电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。

前面的电路是计算得到原函数的电路。

做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，

再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。

电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值

后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路

15.下面电路实现计算下面的积分的功能

     dx/(a+bx)=ln│a+bx│/b+C

根据上面的公式，幂函数的积分等于原来的幂次数加上1，行程新的幂函数，再用这个幂函数除以原来的幂次数加上1。

电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。

前面的电路是计算得到原函数的电路。

做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，

再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。

电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值

后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路

16.下面电路实现计算下面的积分的功能                

                       x          

log  xdx=xlog  x-      +C

         a         a   lna  

   当a=e时，                  

lnxdx=xlnx-x+C

根据上面的公式，幂函数的积分等于原来的幂次数加上1，行程新的幂函数，再用这个幂函数除以原来的幂次数加上1。

电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。

前面的电路是计算得到原函数的电路。

做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，

再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。

电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值

后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路

17.下面电路实现计算下面的积分的功能

       dx          1    x-a

=      ln        +C

      2   2       2a    x+a            

     x  -a        

根据上面的公式，幂函数的积分等于原来的幂次数加上1，行程新的幂函数，再用这个幂函数除以原来的幂次数加上1。

电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。

前面的电路是计算得到原函数的电路。

做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，

再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。

电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值

后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路

18.下面电路实现计算下面的积分的功能

     secxdx=      dx/cosx=ln│tg(π/4+x/2)│+C=ln│secx+tgx│+C

根据上面的公式，幂函数的积分等于原来的幂次数加上1，行程新的幂函数，再用这个幂函数除以原来的幂次数加上1。

电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。

前面的电路是计算得到原函数的电路。

做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，

再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。

电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值

后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路

19.下面电路实现计算下面的积分的功能

                                     2

       2   2       x      2    2    a        x

a   -x  dx=        a   -x   +     arcsin     +C

                   2                2         a

根据上面的公式，幂函数的积分等于原来的幂次数加上1，行程新的幂函数，再用这个幂函数除以原来的幂次数加上1。

电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。

前面的电路是计算得到原函数的电路。

做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，

再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。

电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值

后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路

20.下面电路实现计算下面的积分的功能

                     cos(m+n)x    cos(m-n)x

     sin mx*cos nxdx=-           -            +C

                      2(m+n)     2(m-n)

根据上面的公式，幂函数的积分等于原来的幂次数加上1，行程新的幂函数，再用这个幂函数除以原来的幂次数加上1。

电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。

前面的电路是计算得到原函数的电路。

做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，

再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。

电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值

后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路

21.下面电路实现计算下面的积分的功能

                                2   2

     arccos(x/a)dx=xarccos(x/a)-    a  -x   +C

根据上面的公式，幂函数的积分等于原来的幂次数加上1，行程新的幂函数，再用这个幂函数除以原来的幂次数加上1。

电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。

前面的电路是计算得到原函数的电路。

做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，

再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。

电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值

后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路

22.下面电路实现计算下面的积分的功能

               ax

       ax     e

xe  dx=        (ax-1)+C    (a≠0)

               2

              a                          

根据上面的公式，幂函数的积分等于原来的幂次数加上1，行程新的幂函数，再用这个幂函数除以原来的幂次数加上1。

电路通过加法器乘法器除法器，sinx，lnxcosx等计算电路，按照公式将各个电路连接起来。

前面的电路是计算得到原函数的电路。

做积分运算之前，首先将原函数进行逆运算得到原函数里面的自变量x，

再利用得到的常数计算出原函数的积分。方框内的电路是对原函数进行逆运算，计算得到自变量x的电路。

电压表A和电压表B测量的电压值相等时，这时的电压值就是x的电压值

后面电路是按公式计算得到原函数的积分的电路

第六部分

计算f(x)导数的电路

推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译

                     ax                    

          ax        e   (asinnx-ncosnx)  

e  sinnxdx=                     +C

                       2    2

                     a   +n    

         ax                    

       e   (asinnx-ncosnx)             △y          f(x+△x)-f(x)  

f(x)=(                     )`=  lim          = lim               =t  

             2    2         △x→0   △x    △x→0    △x

            a   +n    

          f(x+△x)-f(x)-t*△x

设g(x)=                    =s*△x

                △x

用直流电源电压表示x,t,s的数值，用乘法器，除法器，减法器，表示上面等式，用电压表测量等式两端电压相等时，s的输出是正整数时，这时t的输出电压值就是极限值4..

计算不定积分的电路

         ax                    

       e   (asinnx-ncosnx)             △y          f(x+△x)-f(x)  

f(x)=(                     )`=  lim          = lim               =t  

             2    2         △x→0   △x    △x→0    △x

            a   +n    

下面的电路实现的上面公式的功能

f(x+△x)-f(x)=△x*(s*△x+t)

设f(w)=f(x+△x)-f(x), f(w)=△x*(s*△x+t),

        ax      

其中t=e   sinnxdx,

                ax          

f(w)=△x*(s*△x+e    sinnxdx)

          f(x+△x)-f(x)

                       =s*△x

               △x

用直流电源电压表示x,t,s的数值，用乘法器，除法器，减法器，表示上面等式，用电压表测量等式两端电压相等时，s的输出是正整数时，这时t的输出电压值就是极限值4..

f(x)计算电路

     ax

f(x)=e    sinnx

用直流电源电压表示e,a,x,n的数值，用乘法器，除法器，减法器，按照上面等式连接电路，最后计算出f(x),

第五部分有理函数的不定积分

如下图所示