公式(5a)中固定的常数C等于0.01,  这个常数的数值（它是从另外的方法计算出来的）是这样的：   C=0.01    

计算tgx ,ctgx的公式, 推导过程可见级数的乘法页

tg x=sin x/cos x

                                                        (2k)!                      

               x                     x      (∑ (-1)             )   -    ∏(-1)      

  =∑(-1)             [ ∑  (-1)          -  

               (2k-1)!               (2k-1)!                        

                                             ∏(-1)               ∑  (-1)

                                                      2       4              2k      

      x        x                   x                x        x          k    x  

=(x-        +         -…+(-1)               +…)[1-        +       -…+(-1)                

       3!       5!                (2k-1)!             2!       4!             (2k)!

       2!        4!          k  (2k)!       2       2!       4!          k  (2k)!

(1-       +         -…+(-1)          +…)  -1*(-       )*(      )(…*)(-1)

        2         4               2k               2        4               2k      

x         x               x                x        x               x

-…+

           2!        4!            k   (2k)!        2!      4!         k  (2k)!

     1*(-       )*(        )*(…*)((-1)          )(1-       +       -…+(-1)        +…)  

             2         4                  2k        2      4              2k      

            x         x                 x          x      x              x

tg x=sin x/cos x

               x                     x                      

  =∑(-1)             *∑  (-1)          -  

               (2k-1)!               (2k-1)!  

                                 (2k)!                                           ∑ (-1)             ( ∑ (-1)             )   -  ∑(-1)              *∏(-1)  

            (2k-1)!                                        (2k-1)!               x

                                             ∏(-1)               ∑  (-1)

       1        1         1     1      1       1                  

=1+(-        +       )x+(     +       *      +       ) x   +…-

       2!       3!        4!      2!     3!      5!              

                                 (2k)!                                           ∑ (-1)             ( ∑ (-1)             )   -  ∑(-1)              *∏(-1)  

            (2k-1)!                                        (2k-1)!               x

                                             ∏(-1)               ∑  (-1)

计算tgx ,ctgx的公式

ctg x=sin x/cos x

                                                        (2k-1)!                      

               x                     x      (∑ (-1)             )   -    ∏(-1)      

  =∑(-1)             [ ∑  (-1)          -  

               (2k)!               (2k-1)!                        

                                             ∏(-1)               ∑  (-1)

                                                      3       5            2k-1      

      x        x                   x                x        x        k-1  x  

=(1-        +         -…+(-1)               +…)[1-        +       -…+(-1)                

       2!       4!                (2k)!             3!       4!             (2k-1)!

       3!        5!         k-1  (2k-1)!    2       3!       5!         k-1  (2k-1)!

(x-       +         -…+(-1)          +…)  -x*(-       )*(      )(…*)(-1)

        3         5              2k-1              3        5               2k-1      

x         x              x                x        x               x

-…+

           3!        5!            k-1  (2k)!        3!      5!       k-1  (2k-1)!

     x*(-       )*(        )*(…*)((-1)          )(x-       +       -…+(-1)        +…)  

             3         5                 2k-1        3      5             2k-1      

            x         x                 x          x      x              x

计算tgx ,ctgx的公式

ctg x=cos x/sin x

                2k                   2k-1                        

               x                   x      

  =∑(-1)             *∑  (-1)          -  

               (2k)!               (2k-1)!  

                                 (2k-1)!                                           ∑ (-1)             ( ∑ (-1)               )   -  ∑(-1)              *∏(-1)  

            (2k)!                                          (2k)!                x

                                             ∏(-1)               ∑  (-1)

       1        1         1     1      1       1                  

=1+(-        +       )x+(     +       *      +       ) x   +…-

       2!       3!        4!      2!     3!      5!              

                                  (2k-1)!                                           ∑ (-1)             ( ∑ (-1)              )   -  ∑(-1)              *∏(-1)  

            (2k-1)!                                        (2k)!                x

                                             ∏(-1)               ∑  (-1)

推导过程见无穷级数欧拉常数页, 计算三角函数tg x,ctg x的公式

                                                    (2k)!                      

             x                   x      (∑ (-1)            )  -  ∏(-1)      

  ∑(-1)            [∑  (-1)          -                                      ]*

            (2k-1)!             (2k)!                        

                                             ∏(-1)             ∑  (-1)

                                                    (2k-1)!                      

             x                   x      (∑ (-1)              )  -  ∏(-1)      

  ∑(-1)            [∑  (-1)          -                                     ]=1

            (2k)!              (2k-1)!                        

                                             ∏(-1)             ∑  (-1)

推导见拉格朗奇公式, 可以由下面的式子组成模拟计算机的电路计算幂函数。也可以使用模

计算开方的模拟计算机电路

     1/2       1       (1/2)(1/2-1)   2     (1/2)(1/2-1)...(1/2-n+1)   n

(1+x)     =1+      x+             x  +…+                    x   +…

               2        1*2                 1*2*...n      

             1       1     2     1   3    5    4       n-1  (2n-3)!!  n

   1+x  =1+      x-       x   +      x  -      x  +…+(-1)            x  +…

             2       8           16      128                  2n!!

(-1≤x≤1)   (23)

与

     -1/2       1       (-1/2)(-1/2-1)   2     (1/2)(1/2-1)...(1/2-n+1)   n

(1+x)     =1-      x+              x  +…+                    x   +…

               2        1*2                 1*2*...n      

    1        1       3     2     5   3    35    4       n-1  (2n-1)!!  n

       =1+      x-       x   +       x  -      x  +…+(-1)            x  +…

             2       8           16      128                  2n!!

1+x                         (-1<x≤1)  (24)

拟计算机用下面的方法计算一个数的开方。

     μ       μ         μ

(1+x)   ≈(1+0)    +f`(1+0)    *x=1+μ*x

              μ*3

     μ       3          3            μ*3      

(1+x)    =(1+x)        =(      (1+x)   )

                               1       μ*（μ+1）       1      μ   μ+1

                      ≈(1+        *x)             =(（1+      *x）  )        

                             μ+2                       μ+2

                              1        μ+1      

                      ≈(1+        *μx)                    

                             μ+2                        

        1              1*10    

        2       1      2

(1+x)   ≈(1+     *x)

             10

        1              1*3    

        2       1      2

(1+1)   ≈(1+     *1)                  161051

             3

                     3    

                1    2

  =(1+      )                  

             3

                     3                 3

                1    4          1      4

  =(1+      )    *  (1+       )    

             3               3

                1     3              1    3

  =(1+      *    )    *  (1+     *    )    

             3     4              3    4

             5     5          

  =     *      

          4     4    

             25              

  ≈            

          16    

        ≈1.787  

        1              1*3    

        2       1      2

(1+1)   ≈(1+     *x)

             3

                       3    

                1      2

        =(1+     )

             3

推导过程见戴劳常数页

                 3     5                 2m-1

               x      x          m-1   x         2m  

arc tg x=x-          +      -......+ (-1)            +o(x  )

               3      5              2m-1

                 3     5              2m-1

               x      x          m   x         2m  

arcc tg x=-x+         -      -......+ (-1)          +o(x  )

               3      5              2m-1

                 3     5                        2m-1

           2!! x    4!!x            m-1   (2m-2)!! x      2m  

arc sin x=x-       +      -......+（-1）               +o(x  )

           3!!      5!!                (2m-1)!!

注note;5!!=1*3*5,6!!=2*4*6

注note;5!!=1*3*5,6!!=2*4*6

             2           3      5                        2m

            x        3!! x    5!!x             m  (2m-1)!! x            2m+1

arc cos x=1-       +         -      -......+（-1）                     +o(x  )

            2!!       4!!      6!!                 (2m)!!

注note;5!!=1*3*5,6!!=2*4*6

根据戴劳公式（120a）

        3

       x        4

tg x=x+      +o(x   )或

       3

         3       5       7                 2m-1

       2x     4x       6x        m-1  (2m) x           n

tg x=x-      +       -       +…-(-1)                + o(x   )      (-π/2<x<π/2)

       3      5        7              2m-1  

      3

       x        4

ctg x=x-      +o(x   )或

       3

         3       5       7                 2m-1

       2x     4x       6x        m-1  (2m) x           n

ctg x=x-      +       -       +…-(-1)                + o(x   )      (0<x<π)

       3      5        7              2m-1  

第四部分，泰勒级数推导过程数学流程图

计算三角函数调用泰勒公式

      说明泰勒级数       引用瓦利斯公式       推导二项式系数  

初等函数的展开，推导泰勒公式的前提        最后得到计算三角函数的近似公式8      

调用戴劳公式和有限差分法                 最后得到计算三角函数的近似公式9

. (注：有限差分法是推导泰勒公式所使用的的方法)

                                            模拟计算机计算开方公式

戴劳公式的推导    首先调用拉格郎奇公式   引用单方导数概念   推导出近似公式  

                   其次调用增量公式                                  

                   再调用任意阶导数的普遍公式和莱布尼兹公式

                   推导出计算三角函数的插值法（模拟计算机用）

                   推导出计算三角函数的公式4

       推导出惠更斯公式   推导出计算三角函数的公式2

       推导出插值法

       调用数e的近似计算法

       推导出契贝塞夫(П.Л.Чебышев)法则    推导出计算三角函数的公式3

       推导出插值法     推导出计算三角函数的拉格朗奇插值法

                         推导出计算三角函数的带余项的拉格朗奇插值法

                         推导出计算三角函数的埃尔密特公式插值法

莱布尼兹公式的推导    推导任意阶导数的普遍公式    推导莱布尼兹公式

                      引用求导数的简单法则

拉格郎奇公式的推导     调用微分是近似公式的来源中的近似公式  

                        推导出计算幂函数的近似方法。模拟计算机用

增量公式的推导     调用无穷小及无穷大的分级中的无穷小的比较

微分是近似公式的来源中的近似公式的推导    

调用无穷小及无穷大的分级中的等价无穷小    

调用可微性与导数存在之间的关系    

最后得到计算函数的近似公式

无穷小及无穷大的分级的推导    先推导无穷小的比较    再推导无穷小的尺度    

      再调用极限理论的推广

         再推导等价无穷小     再推导主部的分出    最后的到计算函数的近似公式

微分的定义     推导出可微性与导数存在之间的关系

               调用无穷小及无穷大的分级中的等价无穷小和主部的分出

                     推导出计算三角函数的公式1

无穷级数欧拉常数     推导出用对数函数计算sinx,cosx的公式

级数的乘法      推导出用sinx,cosx级数计算tgx,ctgx的公式

.

第四部分，泰勒级数数学理论描述

1.上面电路实现的功能是表示任意角度的正弦值。

2.正弦值等于直角三角形的角对应的直角边和斜边的比值。

           sinα=y/r

     余弦值等于直角三角形的角相邻的直角边和斜边的比值

          cosα=x/r

  正切值等于直角三角形的角所对的直角边和相邻的直角边的比值

          tanα=y/x

正割值等于斜边和直角三角形的角相邻的直角边的比值

          secα=r/x

余割值等于直角斜边和直角三角形的角对应的直角边的比值

           cscα=r/y

余割值等于直角斜边和直角三角形的角对应的直角边的比值

          cscα=r/y

余切值等于直角三角形的角相邻的直角边和所对的直角边的比值

          cotα=x/y

  3.在直角三角形中，两个直角边x,y的平方和等于斜边的平方

         2   2   2

        x  +y  =r

4.所以正弦值可以表示为

                  2     2

       sinα=y/    x   +y

5.如图1所示，h是垂直于三角形斜边的高，它把斜边分成r1,r2

   2     2      2         2      2     2                2    2

h     +r1     =y         r1    =y     -h         r1=   y    -h  

   2     2      2         2      2     2                2    2

h     +r2     =x         r2    =x     -h         r2=   x    -h  

∵r1+r2=r

   2    2          2        2     2         2     2        2    2    2      

∴x   +y    =(r1+r2)        x    + y   =(    y    -h     +   x   -h    )    (1)

∵sinα=h/x

∴

                  2     2

       h/x=y/    x   +y

∴

                    2     2

       h/x=y*x/    x   +y                (2)

                       图1

6.将⑵代入⑴得

   2    2        2    2  2    2     2              2    2    2   2     2    

x   +y    =   y    -y  *x  /(x    +y   )   +      x   -y   *x   /(x   +y  )  

   2           2    2  2    2     2              2    2    2   2     2    

r       =   y    -y  *x  /(x    +y   )   +      x   -y   *x   /(x   +y  )   (3)

4.在单位圆中，直径是1，也就是上面的斜边是1，所以⑶可以表示为

               2    2  2    2     2              2    2    2   2     2    

  y    -y  *x  /(x    +y   )   +      x   -y   *x   /(x   +y  )  =1

{

             2   2  

            x  +y  =1

            sinα=y,   cosα=x,   tanα=y/x

5.用直流电压DCXV，100mA表示X，用直流电压DCYV，100mA表示Y，用加法器，减法器，开方，乘法器，电压跟随器可以表示上式。

6.在上面二元二次方程中，知道x，就会得到y值，知道y，就会得到x值。

7.上面电路中，x值不断变化，它是余弦值，查《数学用表》，可以得到它的余弦角角度。

上面电路中，y值不断变化，它是正弦值，查《数学用表》，可以得到它的正弦角角度。

上面电路中，y/x值不断变化，它是正切值，查《数学用表》，可以得到它的正切角角度。

上面电路中，1/x值不断变化，它是正割值，查《数学用表》，可以得到它的正割角角度。

上面电路中，1/y值不断变化，它是余割值，查《数学用表》，可以得到它的余割角角度。

上面电路中，x/y值不断变化，它是余切值，查《数学用表》，可以得到它的余切角角度。

8.已知一个角的角度，计算这个角的三角函数可以采用微积分里面的泰勒级数。泰勒展开式的推导详细情况可见初等函数的展开。根据泰勒展开式，可得下面的公式

                                                  (n)

              f`(x  )          f``(x  )        2     f   (x  )      n

f(x)=f(x   )+       0  (x-x   )+    0   (x-x   )  +…+       0 (x-x  )    +r  (x)   (3)

       0        1!       0      2!       0           n!      0       n

这个展开式描述的一个函数f(x)等于

                               2              (n)

     x         x              x              x         n

e  =1+              +             +…+          + o(x   )      (11)

               1!             2!             n!    

                3                2                    2m-1

               x              x                m-1   x          2m

sin x  =x-              +             -…+ (-1)               +o(x   )      (12)

               3!             5!                      (2m-1)!  

                2                4                   2m

               x              x                m    x         2m+1

cos x  =1-              +             -…+ (-1)             +o(x   )      (13)

               2!             4!                   (2m)!  

     m         m(m-1)    2        m(m-1)...(m-n+1)   n     n

(1+x)   =1+mx+          x   +......+                  x   +o(x  )

                1*2                1*2...n

                 2     3                n

               x      x         n-1    x           n    

ln(1+x)   =x-        +      -......+ (-1)            +o(x  )

               2      3               n

                 3     5                 2m-1

               x      x          m-1   x         2m  

arc tg x=x-          +      -......+ (-1)            +o(x  )

               3      5              2m-1

                 3     5               2m-1

               x      x          m   x         2m  

arc ctg x=-x+        -      +......- (-1)            +o(x  )

               3      5              2m-1

                 3                  

               x       4

tg x=x+            +o(x  )

               3    

     sin x          1    2            3

e     =1+x  +      x        + o(x   )    

                  2                

     tg x         1    2      1      3         3

e    =1+x+        x   +         x     + o(x   )      

                 2           2!              

               1    2       1     4      1      6      6

ln cos x  =-      x    -         x   -         x   + o(x   )    

               2             12          45    

                       3         5          

           2          x        3x         5    

ln(x+    1+x  )   =x-        +         +o(x  )

                      6        40      

      sin x      1    2       1     4      1      6      6

ln       =-      x    -         x   -         x   + o(x   )    

        x       6           180          2835  

                3                2                    2m-1

               x              x                m-1   x          2m

sin x  =x-              +             -…+ (-1)               +o(x   )      (12)

               3!             5!                      (2m-1)!  

                2                4                   2m

               x              x                m    x         2m+1

cos x  =1-              +             -…+ (-1)             +o(x   )      (13)

               2!             4!                   (2m)!  

sinh / 双曲正弦：

       x    -x

     e    -e  

shx=

       2

cosh / 双曲余弦：

       x    -x

     e    +e  

shx=

       2

                3                2                    2m-1

               x              x                      x           2m

sh x  =x+              +             +…+                   +o(x   )      (12)

               3!             5!                      (2m-1)!  

                2                4                   2m

               x              x                     x         2m+1

ch x  =1+              +             +…+                 +o(x   )      (13)

               2!             4!                   (2m)!  

可设

       x       -x

     e    +  e  

y=

         2

得

  2x      x

e    -2y*e   +1=0

  x          2

e   =y±    y   -1

                2

x   =ln(y±      y   -1   )

可设

       x    -x

     e    -e  

y=

       2

得

  2x      x

e    -2y*e   -1=0

  x          2

e   =y±    y   +1

                2

x   =ln(y±      y   +1   )

tanh / 双曲正切：tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)=[e^x - e^(-x)] / [e^x + e^(-x)]

coth / 双曲余切：coth(x) = cosh(x) / sinh(x) = [e^x + e^(-x)] / [e^(x) - e^(-x)]

sech / 双曲正割：sech(x) = 1 / cosh(x) = [e^x - e^(-x)]/2

csch / 双曲余割：csch(x) = 1 / sinh(x) = [e^x + e^(-x)]/2

tanα= sinα/ cosα   ch(x±y)=ch x*ch y±sh x*sh y

secα=1/ cosα      sh(x±y)=sh x*ch y±ch x*sh y

cscα=1/ sinα

cotα= cosα/ sinα

x+y   -x-y       x       -x      y      -y      x       -x        y      -y

e     +e         e    +  e      e    +  e     e    -  e        e    -  e

               =             *             +                *

2              2              2             2                 2  

                 3     5                 2m-1

               x      x          m-1   x         2m  

arc tg x=x-          +      -......+ (-1)            +o(x  )                 (15)

               3      5              2m-1

                                        2m-1

               1      1          m-1   1         2m  

π/4=arc tg 1=1-      +      -......+ (-1)            +o(x  )     (16)

               3      5              2m-1        

       1       1          1

e=1+       +       +…+        +…

    1！     2！        n!

            2      3

           x      x           1     n+1

ln(1+x)=x-       +     -…+(-1)       x      +…   (-1<x≤1）

           2      3          n+1

     m        m(m-1)  2     m(m-1)...(m-n+1)   n

(1+x)   =1+mx+        x  +...+                x  +…   (-1<x<1）

                2!               n!

n        1     1         k-1   1

    =1-     +      -…+(-1)          +…

n+1      n      n             k-1

                             n

第五部分三角函数泰勒级数

9.对数对应的泰勒级数如下

对数泰勒展开式的推导详细情况可见初等函数的展开

泰勒级数推导。展开函数成幂级数，泰勒级数。

我们已知形如

∽        n                       2             n

∑  a    x    =a    +a    x+a    x    +...+a    x    +...  

0     n         0     1      2             n

详细推导过程见下图所示