三角函数泰勒级数推导2-人才求职-中国面包师贴吧/中国烘焙网贴吧/烘焙师招聘求职贴吧

它用多项式来代替原来性质繁复的函数。但在这一次我们已有可能估计这公式的误差，因为它（以绝对值）刚好等于所弃去的那一项。例如，若(n+1)阶导数（至少当变元在0与x之间变动时）的绝对值是以M为界限的，则

n+1

│r (x)│≤

n (n+1)!

转而讨论初等函数作为例子。我们不重复125的计算，只是把余项写成新的形式。

1)令

f(x )=e

近似公式为：

2 (n)

x x x x

e ≈1+ + +…+

1! 2! n!

因为在这里的余项是

θx

e n+1

r (x)= x

n (n+1)!

所以，例如在x>0时可估计误差如下：

n+1

│r (x)│<e *

n (n+1)!.

特别情形，若x=1，则

1 1 1

e ≈1+ + +…+

1! 2! n!

│r (1)│<

n (n+1)!.

我们在37内计算数e的近似值时已经应用过与此类似的公式。但余项的估计系由另一方法得出，那里的结果比较精确一些。

2)取f(x)=sin x,则得

3 5 2m-1

x x m-1 x

sin x ≈x- + -…+ (-1)

3! 5! (2m-1)!

在这情形余项为：

sin(θx+(2m+1) ) 2m-1

2 2m-1 m x

r (x)= x =(-1) cos θx*

2m (2m-1)! (2m-1)!

并且误差很容易估计为:

2m-1

│x│

│r (x)│≤

2m (2m-1)!

特别情形，若我们只取一项而令sin x≈x, 则为着要使误差小于0.001，就只要取（算作x>0）

<0.001

或x<0.1817, 这大约等于10°, 在应用二项的近似公式

sin x≈x-

时，要达到同一的准确度，就只要取

<0.001

120

或x<0.6544 (≈37°.5); 若限制角x<0.4129(≈23°.5), 则误差甚至可<0.0001，余类推。我们看到，戴劳多项式的项数愈多时，它就以愈大的准确度及在更长的距离内表达原来的函数。图52，a明显地表明这事实，在图中与函数y=sin x的图线并列的是各多项式的图线，这些多项式是：

3 3 5

x x x

y=x, y=x- , y=x- + ,等等,

6 6 120

0.5

1 2 3 4 5

图56，a

3)类似地，对于f(x)=cos x 就有

2 4 2m

x x m x

cos x ≈1- + -…+ (-1)

2! 4! (2m)!

并且

2m+2

m+1 x

r (x)= (-1) cosθx*

2m+1 (2m+2)!

因此

2m+2

│x│

│r (x)│≤

2m+1 (2m+2)!

例如，对于公式

cos x≈1-

误差

│r (x)│≤

3 24

就是说，在x<0.2213(≈13°)时误差<0.0001，与类推。在图52.b中有着函数y=cos x的图线及下面诸多项式

2 2 4

x x x

y=1, y=1- , y=1- + ,等等,

6 2 24

的图线以便比较。

0.5

1 2 3 4 5

图56，b

请读者注意，这与62，63，107诸段的公式比较起来已有很重大的进步；现在我们亦能确定误差的界限，并且能够得到具任何准确度的展开式，还将指出，戴劳公式是构成完全另一种类型的近似公式的来源。

4)作为例题，讨论与半径相较是很微小的圆弧被近似地引直时的惠更斯(Ch.Huy-gens)公式。设s是弧长，d是对应于它的弦，而δ是对应于半弧的弦（图53）。问题是要尽可能准确地用近似公式. s≈Ad+Bδ来表示弧长s，此处A,B是待定系数。

x/2 x f

图53. (a)

若r是圆的半径，而2x是对应与弧s的圆心角，则有

1 3 θ` 5

d=2r*sin x=2r(x- x + x )

6 120

类似地，把x换成x/2，就又有

x 1 1 3 θ`` 5

δ=2r*sin =2r( x- x + x )

2 2 48 3840

由此

1 1 1 3 θ` θ`` 5

Ad+Bδ=2r[(A+ B)*x-( A+ B)*x +( A+ B)*x ]

2 6 48 120 3840

可是s=2rx，自然必须选取A及B使

A+ B=1

1 1

A+ B=0

6 48

因为这样一来，在所考察的公式中，左端与右端的差将仅只是含有x 的项了。

注:因为

1 1 1 3 θ` θ`` 5

Ad+Bδ=2r[(A+ B)*x-( A+ B)*x +( A+ B)*x ]

2 6 48 120 3840

1 1 1 3

≈2r[(A+ B)*x-( A+ B)*x ]

2 6 48

=2r[(1)*x-(0)*x ]

=2rx

所以

A+ B=1

1 1

A+ B=0

6 48

由上二式解得A及B的数值为

1 8

A=- , B= ,

3 3

而公式成为

8δ-d 2δ-d

s= =2δ+

3 3

很容易看出，其误差△可估计为：

｜△｜<r*

180

例如，在圆心角为30°，即

x= 时

根据这一估计，就有

｜△｜<r*0.000007

实际上s=r*0.523599...

所以误差并未超出规定的限度。下面介绍由上面推导出的关于x,d,δ，cos x的4个四元一次方程式, 这个方程式可以应用在模拟计算机上面进行计算。因为

8δ-d 2δ-d

s= =2δ+

3 3

d/2

sin x=

s=2rx

r=s/2x

所以

d/2

sin x=

s/2x

d 2x

= *

2 s

d*x

8δ-d 2δ-d

s= =2δ+

3 3

d*x

sin x=

2δ-d

2δ+

sin x=± (1-(cos x) )

2 d*x d*x

± (1-(cos x) )= =

2δ-d 8δ-d

2δ+

3 3

2 3d*x 2

1-(cos x) =( )

8δ-d

2 3d*x 2

(cos x) =1-( ) (202a)

8δ-d

由图53，a可知，δ，角y，d/2在一个直角三角形上

所以

π-x d/2

sin y=sin =

2 δ

d*δ

π-x π x

sin =sin( - )

2 2 2

= cos( )

(cos x+1)

(cos x+1) d* δ 2

=( )

2 2

(d* δ)

cos x = -1 (202b)

因为b，δ,d/2组成一个直角三角形，所以

d 2 2 2

( ) +f =δ

又因为a,b都在半径上，所以

a+f=r, f=r-a

d 2 2 2

( ) +(r-a) =δ

r=s/2x,

2δ-d

s= 2δ+

2δ-d

2δ+

δ 2δ-d

= +

x 6x

δ δ d

= + -

x 3x 6x

4δ d

= -

3x 6x

所以a=cos x*r

d 2 2 2

( ) +(r-a) =δ

d 2 2 2 2

( ) +r (1-cos x) =δ

d 2 4δ d 2 2 2

( ) +( - ) (1-cos x) =δ (202c)

2 3x 6x

因为半径r，a,d/2组成一个直角三角形，所以

d 2 2 2

( ) +a =r

又因为a,b都在半径上，所以

a+f=r, a=r-f

2δ-d

2δ+

δ 2δ-d

= +

x 6x

δ δ d

= + -

x 3x 6x

4δ d

= -

3x 6x

d 2 2 2

( ) +(r-f) =r

所以

π-x

f=cos *δ

=sin *δ

d 2 2 2

( ) +(r-f) =r

d 2 x 2 2

( ) +(r-sin *δ ) =r

2 2

d 2 4δ d x 2 4δ d 2

( ) +( - -sin *δ ) =( - )

2 3x 6x 2 3x 6x

d 2 4δ d 2-cos x 2 4δ d 2

( ) +( - - *δ ) =( - ) (202d)

2 3x 6x 2 3x 6x

最后得到关于x,cos x,d,δ的四元一次方程组

2 3d*x 2

(cos x) =1-( ) (202a)

8δ-d

(d* δ)

cos x = -1 (202b)

d 2 4δ d 2 2 2

( ) +( - ) (1-cos x) =δ (202c)

2 3x 6x

d 2 4δ d 2-cos x 2 4δ d 2

( ) +( - - *δ ) =( - ) (202d)

2 3x 6x 2 3x 6x

5）为着同一目的，契贝塞夫(П.Л.Чебышев)曾给出下面的法则：

弦长近似地等于作在弦上而高为矢的倍的等腰三角形两腰之和。

δ s

y f

x r

图53. (b)

暂设h=γf;

底下就要说明：若设

γ=

则确能得（某种意义上的）最佳近似。以上我们知道

1 1 3 1 5

d=r*sin x=r(x- x + x ) (0<θ <1);

2 6 120 1

相仿地，

1 2 4

h=γf=γr(1-cos x)=γr(1-cos x)= γr( x - x ) (0<θ <1);

2 24 2

用s*记上述契贝塞夫法则中等腰三角形的两腰之和，既有

1 2 2

s*=2 ( x) +h

θ θ

1 2 1 4 2 x 2 3 2

=2rx (1- x + x ) +γ( - x )

6 120 2 24

γ 1 2 4 6 8

=2rx 1+( - ) x +ax +bx +cx

4 3

现在，为使根式中消去x 项，等于0，于是便得

γ=

为估计误差，把s*式改写成

s*=2rx 1+Ax (15)

而A的表达式中则含有x的二次项与四次项。设

则有

2 4

x <2.5, x <6.5

而A的估计式为│A│<0.06,

因而

│A│x <0.4

为简便起见，把Ax 记为y，

依有限增量公式[112]有

4 y

1+Ax = 1+y =1+ (0<θ <1);

2 1+θy

最后的分式可估计如下：

4 4

y │y│ │A│x 0.06x 1 4

< = < < 0.1x

2 1+θy 2 1+│y│ 2 4 2 0.6 2

1+│A│ x

把表达s*的（15）式与刚才所得结果比较一下，则见

s*=s+p,

其中，

│ρ│<0.1rx

误差的阶跟惠更斯公式一样。在第二卷十一章将无穷级数的时候。我们还要再讨论带余项的戴劳公式，在哪里这公式将有很大的作用。

由上面的推导可得

h≈ f

因为h,d/2在同一个直角三角形，这个直角三角形斜边的2倍约等于弧长s

所以

4 2 1 2

s≈2 f + d

3 4

因为

d/2

sin x=

s=2rx

r=s/2x

所以

d/2

sin x=

s/2x

d 2x

= *

2 s.

d*x

4 2 1 2

s≈2 f + d

3 4

d*x

sin x=

4 2 1 2

2 f + d

3 4

sin x=± (1-(cos x) )

d*x

4 2 1 2

2 f + d

3 4

sin x=± 1-(cos x)

± 1-(cos x)

d*x

4 2 1 2

2 f + d

3 4

2 2

2 d *x

(cos x) =1- (203a)

16 2 2

f + d

由图53，b可知，h，角y，d/2在一个直角三角形上

所以

π-x d/2

sin y=sin =

2 δ

d *δ

π-x π x

sin =sin( - )

2 2 2

=cos( )

(cos x+1)

(cos x+1) d*δ

2 2

(cos x+1) d*δ 2

= ( )

2 2

（d*δ）

cos x= -1

2 2 d

d *(f + )

cos x= -1 (203b)

因为b，δ,d/2组成一个直角三角形，所以

d 2 2 2

( ) +f =δ

d/2 d

δ= =

sin y 2sin y

(cos x+1)

所以

d 2 2 d

( ) +f = (203c)

2 2(cos x+1)

因为半径r，a,d/2组成一个直角三角形，所以

d 2 2 2

( ) +f =r

又因为a,b都在半径上，所以

a=cos x*r

4 2 1 2

s≈2 f + d

3 4

4 2 1 2

f + d

3 4

r=s/2x=

所以

d 2 2 2 2

( ) +(cos x) *r =r

4 2 1 2 4 2 1 2

f + d f + d

d 2 2 3 4 3 4

( ) +(cos x) * = (203d)

2 2 2

x x

最后得到关于x,cos x,d,δ的四元一次方程组

2 2

2 d *x

(cos x) =1- (203a)

16 2 2

f + d

2 2 d

d *(f + )

cos x= -1 (203b)

d 2 2 d

( ) +f = (203c)

2 2(cos x+1)

4 2 1 2 4 2 1 2

f + d f + d

d 2 2 3 4 3 4

( ) +(cos x) * = (203d)

2 2 2

x x

36.数e

我们在这里将应用极限步骤来定义一个新的数。这新的数迄今为止我们尚未遇到过。试考察整序变量

1 n

x =(1+ )

n n

并设法应用34的定理来确定它的极限。因为在指数n增大时幂的底数正在减小，所以整序变量的《单调》性不是直接看得出来的。为着证明x 的单调性，可根据二项定理展开上式：

1 n 1 n(n-1) 1 n(n-1)(n-2) 1

x =(1+ ) =1+n* + * + * +...+

n n 2 3

n 1*2 n 1*2*3 n

n(n-1)...(n-k+1) 1 n(n-1)...(n-n+1) 1

+ * +...+ *

k n

1*2...*k n 1*2...*n n

1 1 1 1 2

=1+1+ (1- )+ (1- )(1- )+…+

2! n 3! n n

1 1 k-1 1 1 n-1

+ (1- )…(1- )+…+ (1- )…(1- ) (6)

k! n n n! n n

若改上式左边的x 为x ，即使n增大1，则在该式右边首先须在最后加上第(n+2)项（正

n n+1

的），又前面写着的n+1项中每一项也都增大了些，

s s

因为在任一括号内1- 型的因式都已换成较大的因式1-

n n+1

由此必有

x >x

n+1 n

即x 是增大的整序变量。今将证明，它又是囿于上的。即证明x 是增大的整序变量。

n n

因为

1- <1

1 1 1

(1- ) <

2! n 2!

1 1 2 1

(1- )(1- ) <

3! n n 3!

…

1 1 n-1 1

(1- )…(1- ) <

n! n n n!

所以

1 1 1

x <2+ + +…+

n 2! 3! n!

在（6）式中略去一切括号内的因式会使它增大了些，因此

1 1 1

x <2+ + +…+ =y

n 2! 3! n! n

更进一步的，（由第2个分数起）将分母中的每一因子都换成2，使所得的式子又增大了些，因此

1 1 1

y <2+ + +…+

n 2 n-1

2 2 2

但是由第二项1/2起各项的总和<1, 因此

y <3

从而

x <3

由此，依34的定理，整序变量x必有一有穷极限。依照欧拉(L.Euler)的记法，用字母e表示这极限。这数

1 n

e=lim(1+ )

不论对于分析学本身，或是它的应用，都有极端的重要性。它的首15位十进小数，就是

e=2.718281828459045...

在下一段内，我们将指出简便的方法计算数e的近似值，同时顺便证明数e是无理数。

数e的某些性质（我们在以后[54,(13)再证明）使得选它作为对数系统的底时有特殊的便利。

注： α

e= lim (1+α) （13）

α→0

以e为底的对数称为自然对数，用不标出底的记号ln来表示它；在理论的研究中，总是用着自然对数。注：这对数有时误称为纳披尔对数，取名于对数的发明者-苏格兰数学家纳披尔（J.Napier,ⅩⅥ-ⅩⅦ世纪）. 纳披尔本人并不曾有过对数系统的底的概念（因为他系独创一格，在另外的原理上建立它们），但他的对数相当于底数接近1/e的对数。与他同时代的蒲琪（J.Burgi）则创底数接近e的对数。以十为底的常用对数与自然对数的关系借公式

log x=ln x*M

来表示，式中M为换底的模且等于

M=log e= =0.434294...

ln 10

这个公式也很容易求得，只需在恒等式

ln x

x=e

的两边各取以10为底的对数便是。

37.数e的近似计算法

回到等式（6），若固定k，并设n>k，弃去最后一部分，即在第k+1项以后的一切项，则得不等式

1 1 1 1 2

x >2+ (1- )+ (1- )(1- )+..+

2! n 3! n n

1 1 k-1

(1- )… (1- )

k! n n

让n增大至无穷取极限，因所有括号的极限均为1，故得：

1 1 1

e≥2+ + +…+ =y

2! 3! n! k

这不等式对于任何自然数k都成立。因此，

x <y ≤ e

n n

由此，明显地[根据28，定理3]，又有

lim y =e

顺便注意到，y 是无穷级数[25 9)]

1 1 1

1+ + +…+ +…

1! 2! n!

的前n+1项的部分和，因而刚才所说的极限关系式表明e是它的和，也可以说e展开成为这个级数，因而可写

1 1 1

e=1+ + +…+ +…

1! 2! n!

在计算数e的近似值时，用整序变量y 比用x 更为便利。

n n

再估计y 向e接近的程度。

为此目的，先考察y 与在y 后面的任何数值y (m=1,2,3,...)之间的差。得

n n n+m

1 1 1

y -y = + +…+

n+m n (n+1)! (n+2)! (n+m)!

1 1 1 1

= {1+ + +…+ }

(n+1)! n+2 (n+2)(n+3) (n+2)(n+3)...(n+m)

若在括号{ }内把各分母中的因子都换成n+2，则得不等式

1 1 1 1

y -y < {1+ + +…+ }

n+m n 2 m-1

(n+1)! n+2 (n+2) (n+2)

因为

1 1

(n+1) (n+2)(n+3)

…

1 1

m-1

(n+1) (n+2)(n+3)

所以

1 1 1 1

{1+ + +…+ }>

2 m-1

(n+1)! n+2 (n+2) (n+2)

1 1 1 1

{1+ + +…+ }

(n+1)! n+2 (n+2) (n+3) (n+2)(n+3)...(n+m)

所以

1 1 1 1

y -y < {1+ + +…+ }

n+m n 2 m-1

(n+1)! n+2 (n+2) (n+2)

若把括号内换成无穷级数的和，则不等式只有加强，故

1 n+2

y -y < *

n+m n

(n+1)! n+1

今使n固定不变，并使m趋于无穷；则整序变量y (标着序号m的)依次取数列

n+m

y ,y ,y ,…y ,…

n+1 n+2 n+3 n+m

中的各值，显然将收敛于e。因此，在取极限时得

1 n+2

e-y < *

n (n+1)! n+1

因为

l im y =e

n+m→+∞ n+m

y = l im y

n+m n+m→+∞ n+m

y = e

n+m

所以

1 n+2

0<e-y < *

n (n+1)! n+1

或最后，得

注：因

n+2 1

< （这是很容易验算的）

(n+1) n

1 n+2 1 n+2

* = *

(n+1)! n+1 n!(n+1) n+1

1 n+2

= *

n! (n+1)

1 1

< *

n! n

所以

1 n+2

e-y < *

n (n+1)! n+1

1 1

< *

n! n

因为

l im y >y

n+m→+∞ n+m n+m

y >y

n+m n

l im y >y

n+m→+∞ n+m n

因为

l im y =e

n+m→+∞ n+m

所以

e>y

e-y >0

0<e-y <

n n!m

若用θ表示差e-y 与数的比值（显然，它位于0与1之间），则又可以写成

n n!n

e-y =

n n!n

将式中的y 用它的展开式代入，我们便得出重要的公式：

1 1 1 θ

e=1+ + +…+ + (7)

1! 2! n! n!n

它是计算e的出发点。弃去最后的一项《余项》，并把其余的各项都换上十进位小数的近似值，我们就得出e的近似值。

今将用公式(7)计算e，使准确至

首先需确定怎样选取n(它可由我们任意取定)，才能实现这一准确度。逐次计算阶乘的倒数(参阅附表)，我们看到，在n=10时，公式(7)的余项已是

θ θ

= < 0.00000003

n!n 10！*10

所以弃去它时，我们造成的误差远远地小于所规定的限度。我们就停止在这n值上。把其余的各项都化成十进位小数，在第八位小数上四舍五入地凑成整数(达到后备的准确度)，则最

大误差在绝对值上小于第八位小数的半个单位，即小于

2*10

我们把计算的结果统计成一表。与近似值并列着的记号（+或-）表示着校正数的符号，要回复到准确的数值必须要把校正数加上去才行。因此，我们刚才所看到的，在弃去余项时校正数小于

再检查在四舍五入地凑成整数时的校正数（连同它们的记号）以后，很容易判定，对于数e的近似值的总校正数必在

1 5

- 8 及 + 8

10 10

之间。由此数e本身必位于小数2.71828175及2.71828186之间，故可置

e=2.7182818±0.0000001

顺便注意到，公式（7）亦可以用来证明数e是无理数。

2.00000000

=0.50000000

=0.16666667-

=0.04166667-

=0.00833333+

=0.00138889-

=0.00019841+

=0.00002480+

=0.00000276-

=0.00000028-

10!

2.71828181

再检查在四舍五入地凑成整数时的校正数（连同它们的记号）以后，很容易判定，对于数e的近似值的总校正数必在

1 5

- 8 及 + 8

10 10

之间, 由此数e本身必位于小数2.71828175及2.71828186之间. 故可置

e=2.7182818±0.0000001

顺便注意到，公式（7）亦可以用来证明数e是无理数。由反面推论，试假定e等于有理数m/n；则若对于这个n写出公式（7），便有

m 1 1 1 θ

=1+ + +…+ + (0<θ<1)

n 1! 2! n! n!n

在这等式的两边都乘以n!，约去除末项以外的一切分母，我们将得出左边是整数，而右边是整数带着分数θ/n，但这是不可能的。这矛盾便证明了我们的命题。

第八部分计算三角函数的插值法

插值法的最简单问题，拉格朗奇公式

设有定义在区间[a,b]上的某函数f(x)，已算出它在区间内点x ,x ,...,x 处的m+1个值，

0 1 m

f(x ),f(x ),...,f(x ), (1)

0 1 m

而要从这些值来算出x为任意新值处的函数值f(x)。这就是插值法的最简单问题。这样来提问题，有许多地方是不正确的。平常，我们这样来理解这一问题：求一次数最小的多项式L(x)，使它在所给点x (i=0,1,...,m)(所谓插值法的基点)与f(x)取相同的数值f(x ),

I i

而在[a,b]的任何x，近似地设. 这就是插值法的最简单问题。这样来提问题，有许多地方是不确定的。平常，我们这样来理解这一问题：求一次最小的多项式L(x), 使它在所给点x (i=0,1,...,m)(所谓插值法的基点)与f(x)取相同的数值f(x )，

而在[a,b]的任何x，近似地设

f(x)≈L(x) (2)

这一类的近似等式叫做插值公式。因此，第一步是要找出近似公式，然后对函数f(x)的一定假设下估计近似公式(2)的误差。为求满足条件

L(x )=f(x ) (i=0,1,...,m) (3)

I i

的多项式L(x),可引用m次多项式

(x-x )...(x-x )(x-x )...(x-x )

0 k-1 k+1 m

l (x)= (k=0,1,...,m)

(x -x )...(x -x )(x -x )...(x -x )

k 0 k k-1 k k+1 k m

相应于下标为k的每一这种多项式，在x=x 时取值1，而在x=x (i≠k)时取值0.

k i

这样，显然可知多项式

L(x)= ∑f(x )l (x) (4)

k k

上式表明多项式L(x)等于多项式l (m)和函数f(x )的乘积的各项和,

k k

满足(3)中的一切条件。这多项式的次数不高于m，因此它可为条件(3)所唯一确定；它叫做拉格朗奇插值多项式，而近似等式(2)叫做拉格朗奇插值公式。

注意，若引用如在插值基点x ,x ,...,x 处等于0的下面表达式

0 1 m

ω(x)=(x-x )(x-x )...(x-x )

0 1 m

则多项式l (x)可以写得更加紧凑些。即，我们显然有

ω(x)

(x-x )...(x-x )(x-x )...(x-x )= (x≠x )

0 k-1 k+1 m x-x k

而

(x -x )...(x -x )(x -x )...(x -x )=

k 0 k k-1 k k+1 k m

ω(x) ω(x)-ω(x )

lim = lim = ω`(x )

x→x x-x x→x x-x k

k k k k

于是

ω(x) m ω(x)

l (x)= , L(x)= ∑ *f(x )

k ω`(x )(x-x ) k=0 ω`(x )(x-x ) k

k k k k

上式表明函数f(x)在x点的插值约等于多项式L(x)在x点的值。多项式L(x)在k点的值l (x)

等于函数w(x)在x点的值除以函数w(x)在x点的导数和x-k的乘积. 多项式L(x)等于从k=0到k=m所有乘积的和，这个乘积为l(x）在x=k的值和函数f(x)在x=k的值的乘积. 由近似公式可知，

3 5 2m-1

x x m-1 x

sin x≈x- + + -…+(-1)

3! 5! (2m-1)!

m ω(x)

L(x)= ∑ * sin (x )

k=0 ω`(x )(x-x ) k

k k

由于L(x)由m个插值点f(x)相加而成, L(x )约等于在k点的插值f(x )l (x)

m k k

L(x )≈l (x) f (x ) (k-m=1)

m m k

L(x )≈l (x) sin (x )

m m k

ω(x)

L(x )= * sin (x )

m ω`(x )(x-x ) k

k k

ω(x)

sin (x )≈ * sin (x )

m ω`(x )(x-x ) k

m m

例如

ω(x)

sin ( 31°)≈ * sin (30°)

ω`(x )(x-x )

m m

ω(x) π

= * sin( )

ω`(x )(x-x ) 6

m m

因为

ω(x)=(x-x )(x-x )...(x-x )

0 1 m

上式中去m为正整数，x=m,x =0,x =1,x =2,...,x =m

0 1 2 m

ω(x)=m!

ω`(x)= (x-x )[(x-x )...(x-x )]`+ (x-x )`[(x-x )...(x-x )]

0 1 m 0 1 m

= m[(x-x )...(x-x )]`+m!

1 m

= m[(x-x )`((x-x )...(x-x ))+(x-x )((x-x )...(x-x ))`]+m!

1 2 3 1 2 m

= m![(m-1)! (x-x )...(x-x )`+(m-1)]+m!

2 m

= m![(m-1)! ((m-2)! (...(1!+0)) +(m-2)) +(m-1)]+m!

例如

ω(x) π

sin ( 31°)≈ * sin( )

ω`(x )(x-x ) 6

m m

m! π

= * sin( )

m![(m-1)! ((m-2)! (...(1!+0)) +(m-2)) +(m-1)]+m! 6

1*2*3...*30 π

= * sin( )

31!(30!(29!(28!(...1!+1)+28!)+29!)+30!)+31! 6

ω(x) π

cos ( 31°)≈ * cos ( )

ω`(x )(x-x ) 6

m m

m! π

= * cos ( )

m![(m-1)! ((m-2)! (...(1!+0)) +(m-2)) +(m-1)]+m! 6

1*2*3...*30 π

= * sin( )

31!(30!(29!(28!(...1!+1)+28!)+29!)+30!)+31! 6

21 ω(x) 20

e ≈ * e

ω`(x )(x-x )

m m

m! 20

= *e

m![(m-1)! ((m-2)! (...(1!+0)) +(m-2)) +(m-1)]+m!

1*2*3...*21 20

= *e

21!(20!(19!(18!(...1!+1)+18!)+19!)+20!)+21!

1.拉格朗奇公式的余项

现在来估计差式f(x)-L(x), 其中x是区间[a,b]上任何固定的值，但异于插值基点。设f(z)在这区间上具有到(m+1)阶的导数。不管K是什么样的常数，函数

φ(z)=f(z)-L(z)-K*ω(z)

也有m+1阶导数而且也在基点x (i=0,1,...,m)等于0.

现在我们这样选择常数K，使z=x时还有φ(x)=0,即设

f(x)-L(x)

K= (5)

w(x)

(因x≠x,故w(x)≠0).

依洛尔定理[111]，在函数φ(z)的•m+2个根x,x ,x ,...,x 之间的m+1个区间上，

0 1 m

可有其导数φ`(z)的m+1个不同的根。对函数φ`(z)及其m+1个根之间的m个区间上再应用洛尔定理，便可知二阶导数φ``(z)有m个不同的根，等等。这样推导下去，到

(m+1)

第m+1步，便推得第m+1阶导数φ (z)有根ζ，因而

(m+1)

φ (ζ)=0 (a<ζ<b), (6)

但

(m+1)

L (z)≡0,

因为多项式L(z)是不高于m次的，而

(m+1)

w (z)≡(m+1)!

依辅助函数φ(z)的定义，有

(m+1) (m+1)

φ (z)=f (z)-K*(m+1)!,

故自(6)可得

(m+1)

f (ζ)

(m+1)!

最后，自(5)求得

(m+1)

f (ζ)

f(x)=L(x)+ w(x) (a<ζ<b) (7)

(m+1)!

这便是带余项的拉格朗奇插值公式。它与(2)不同，是准确等式。附注，若在区间[a,b]上

(m+1)

max│f (z)│=M <∞

m+1

则由于在这区间上

m+1

│w(z)│≤(b-a)

便得公式(2)的误差的下列估计式

m+1 m+1

│f (x)-L(x)│≤ (b-a)

(m+1)!

右边只对很窄的一类函数f(x)才能在m→∞时趋于0；例如，对于在[a,b]上可微分任意次的，且所有导数都以同一个常数M为上界的那种函数，便有这种情形。这时，随着插值基点个数的增多，而不管这些基点是依什么规律取的，公式(2)的误差将均匀趋近于零。这时，随着插值基点个数的增多，而不管这些基点是依什么规律取的，公式(2)的误差将均匀趋近于零。依马尔钦凯维奇(J.Marcinkiewicz)证明，对任取的连续函数，可适当选择一序列基点组，达到上述目的。但根据法贝尔(G,Faber)定理，并没有这样一种选取基点的规律，使其能在上述意义下同时适用于所有的连续函数。关于这一类问题以及有关问题的详情，我们这里不可能细讲了。

因为

(m+1)

f (ζ)

f(x)=L(x)+ w(x) (a<ζ<b) (7)

(m+1)!

上式表明，f(x)等于L(x)加上余项，余项等于f(ζ)的m+1次导数和w(x)的乘积再除以（m+1)！

m ω(x)

L(x)= ∑ *f(x )

k=0 ω`(x )(x-x ) k

k k

所以

(m+1)

m ω(x) f (ζ)

L(x)= ∑ *f(x )+ w(x)

k=0 ω`(x )(x-x ) k (m+1)!

k k

由于L(x)由m个插值点f(x)相加而成, L(x )约等于在k点的插值f(x )l (x)

m k k

L(x )≈l (x) f (x ) (k-m=1)

m m k

L(x )≈l (x) sin (x )

m m k

(m+1)

m ω(x) f (ζ)

L(x )= ∑ *sin (x )+ w(x)

m k=0 ω`(x )(x-x ) k (m+1)!

m m

(m+1)

ω(x) f (ζ)

L(x )≈sin (x )≈ *sin (x )+ w(x)

ω`(x )(x-x ) k (m+1)!

m m

(m+1)

ω(x) sin (ζ)

= *sin (x )+ w(x)

ω`(x )(x-x ) k (m+1)!

m m

例如

(m+1) π

sin ( )

ω(x) π 6

sin ( 31°)≈ * sin( )+ w(x)

ω`(x )(x-x ) 6 (m+1)!

m m

cos ( )

m! π 6

= * sin( )+ m!

[m![(m-1)! ((m-2)! (...(1!+0)) +(m-2)) +(m-1)]+m!]m! 6 (m+1)!

cos ( )

(m-1)! π 6

= * sin( )+ m!

[(m-1)! ((m-2)! (...(1!+0)) +(m-2)) +(m-1)]+m! 6 (m+1)!

cos( )

1*2*3...*29 π 6

= * sin( ) + 30!

30!(29!(28!(...1!+1)+28!)+29!)+30! 6 31!

(m+1) π

cos ( )

ω(x) π 6

cos ( 31°)≈ * cos( )+ w(x)

ω`(x )(x-x ) 6 (m+1)!

m m

sin( )

1*2*3...*29 π 6

= * sin( ) + 30!

30!(29!(28!(...1!+1)+28!)+29!)+30! 6 31!

20 (m+1)

21 ω(x) 20 (e )

e ≈ * e + w(x)

ω`(x )(x-x ) (m+1)!

m m

20 (m+1)

m! 20 (e )

= *e +

m![(m-1)! ((m-2)! (...(1!+0)) +(m-2)) +(m-1)]+m! (m+1)!

1*2*3...*21 20 e

= *e + m!

21!(20!(19!(18!(...1!+1)+18!)+19!)+20!)+21! (m+1)!

130.有重基点的插值法，埃尔密特公式

我们可以提出更一般的插值法问题，即在基点x ,x ,...,x 处不仅给定函数f(x)本身的

0 1 m

值，而且还给定其各阶导数的值：

(n )

f(x ),f`(x ),...,f (x ),

0 0 0

(n )

f(x ),f`(x ),...,f (x ), (8)

1 1 1

…………………..

(n )

f(x ),f`(x ),...,f (x ),

m m m

其中n ,n ,...n 是非负的整数。这些条件的总数是

0 1 m

(n +1)+(n +1)+...+(n +1)=N

0 1 m

利用(8)中所有条件，来计算函数f(x)在[a,b]中异于任何基点的x处的值，这一问题，也像以前一样，应这样来理解：求次数最低的多项式H(x)，它以及它的直到n 阶的导数，

在每一基点x 处，与函数f(x)本身及其相应各阶导数，取同样的一些数值，然后近似的设

f(x)≈H(x). (9)

基点x 分别叫做n +1重的插值基点。

I i

可以证明，不高于N-1次的，且满足一切所设条件的多项式H(x)是存在的而且是唯一的。这叫埃尔密特插值多项式，而公式(9)叫做埃尔密特(Ch.Hermite)插值公式.

若设所有的n 等于零，我们就又回到拉格朗奇公式(2)，

但埃尔密特公式还有旁的特殊情形：只取一个基点x ，然而是n+1重的；

就是说，要求不高于n次的多项式T(x)，使它以及它的n个导数在点x 的值，

各与函数f(x)及其各阶导数的值相同。我们知道，满足这些条件的是戴劳多项式[124(116)]。

f`(x ) f``(x ) f (x )

. 0 0 2 0 n

T(x)=f(x )+ (x-x )+ (x-x ) +... (x-x ) (116)

0 1! 0 2! 0 n! 0

上式表明多项式T(x)等于x 的函数值加上n个值，

第一个值为f(x)的一阶导数和x-x 的乘积再除以1！

第二个值为f(x)的二阶导数和(x-x )平方的乘积再除以2！

……………………

第n个值为f(x)的n阶导数和(x-x )n次方的乘积再除以n！

所以近似公式

f(x)≈T(x)

[比较近似公式127]也是埃尔密特插值公式的特例。使公式(9)成为准确等式的余项，也可用相似于上段中的步骤推导出来。试考察N次多项式

n +1 n +1 n +1

0 1 m

Ω(z)=(z-x ) (z-x ) ...(z-x ) ,

0 0 0

并在a≤z≤b上设Φ(z)=f(z)-H(z)-K*Ω(z)，

而K=常数。若设函数f(x)在[a,b]上有相继的n阶导数，则Φ(z)也是这样的。固定异于基点的值z=x,而取常数K为：

f(z)-H(z)

K= [Ω(x)≠0!]; (10)

Ω(x)

这样选取K之后，函数Φ(z)在z=x也等于0. 如果每个几重根算几个，那么Φ(z)总共就有N+1个根。注：读者熟知的关于多项式的重根这一概念，现在推广到任意函数Φ(z)上来：若α使Φ(z)及其p-1个导数等于零，则说α是Φ(z)的p重根。像以前一样依次应用洛尔定理(只不过函数Φ(z)的每一个重根在做了几步之后就要固定下来而作为其相继各阶导数的根），

(N)

最后便可断定导数Φ (z)在某点ξ等于零。

由此得

(N)

f (ξ)

依(10)

(N)

f (ξ)

f(x)=H(x)+ Ω(x) (11)

这就是带余项的埃尔密特公式。带余项的带余项的拉格朗奇公式[(7)]是上式的特殊情形。同样，若只取一个n+1重的基点x ，

便得到公式(11)的一个特例，即带拉格朗奇式余项的戴劳公式[126(13)]。因为

f(x)≈H(x).

f(x)≈T(x)

多项式T(x)是多项式H(x)的特例

所以T(x)≈H(x)

因为

f`(x ) f``(x ) f (x )

. 0 0 2 0 n

T(x)=f(x )+ (x-x )+ (x-x ) +... (x-x ) (116)

0 1! 0 2! 0 n! 0

(N)

f (ξ)

f(x)=H(x)+ Ω(x) (11)

所以

(N)

f (ξ)

f(x)=T(x)+ Ω(x)

n (N)

f`(x ) f``(x ) f (x ) f (ξ)

. 0 0 2 0 n

f(x)=f(x )+ (x-x )+ (x-x ) +... (x-x ) + Ω(x)

0 1! 0 2! 0 n! 0 N!

因为

n +1 n +1 n +1

0 1 m

Ω(z)=(z-x ) (z-x ) ...(z-x ) ,

0 0 0

所以

n +1 n +1 n +1

0 1 m

Ω(z)=(x-x ) (x-x ) ...(x-x ) ,

0 0 0

f`(x ) f``(x ) f (x )

. 0 0 2 0 n

f(x)=f(x )+ (x-x )+ (x-x ) +... (x-x )

0 1! 0 2! 0 n! 0

(N)

f (ξ) n +1 n +1 n +1

0 1 m

+ (x-x ) (x-x ) … (x-x )

N! 0 1 m

例如

(n)

tg`(60°) tg``(60°) tg (60°)

tg ( 61°)≈tg(60°)+ (61°-60°)+ (61°-60°) +... (61°-60°)

1! 2! n!

(N)

tg (60°) n +1 n +1 n +1

0 1 m

+ (x-x ) (x-x ) … (x-x )

m! 0 1 m

(n)

tg`(π/3) tg``(π/3) tg (π/3)

=tg(π/3)+ (180π/61-π/3)+ (180π/61-π/3) +... (180π/61-π/3)

1! 2! n!

(3)

tg (π/3) π/3 +1 π/3 +1+1 π/3 +1+1+1

+ (180π/61-π/3) (180π/61-π/3) (180π/61-π/3)

tg`(π/3) tg``(π/3)

≈tg(π/3)+ (180π/61-π/3)+ (180π/61-π/3) +...

1! 2!

(1)

tg (π/3) π/3 +1

+ (180π/61-π/3)

tg`(π/3) tg``(π/3)

≈tg(π/3)+ (180π/61-π/3)+ (180π/61-π/3) +...

1! 2!

sec (π/3) π/3 +1

+ (180π/61-π/3)

(n)

sin`(60°) sin``(60°) sin (60°)

sin ( 61°)≈sin(60°)+ (61°-60°)+ (61°-60°) +... (61°-60°)

1! 2! n!

(N)

sin (60°) n +1 n +1 n +1

0 1 m

+ (x-x ) (x-x ) … (x-x )

m! 0 1 m

(n)

sin`(π/3) sin``(π/3) sin (π/3)

=sin(π/3)+ (180π/61-π/3)+ (180π/61-π/3) +... (180π/61-π/3)

1! 2! n!

(3)

sin (π/3) π/3 +1 π/3 +1+1 π/3 +1+1+1

+ (180π/61-π/3) (180π/61-π/3) (180π/61-π/3)

sin`(π/3) sin``(π/3)

≈sin(π/3)+ (180π/61-π/3)+ (180π/61-π/3) +...

1! 2!

(1)

sin (π/3) π/3 +1

+ (180π/61-π/3)

sin`(π/3) sin``(π/3)

≈sin(π/3)+ (180π/61-π/3)+ (180π/61-π/3) +...

1! 2!

cos (π/3) π/3 +1

+ (180π/61-π/3)

第九部分拉格朗奇公式

112.拉格朗奇公式

转而讨论洛尔定理的直接的推论。拉格朗奇定理，设1）f(x)是在闭区间[a,b]内定义着的而且是连续的，2)至少在开区间(a,b)内有有穷导数f`(x)存在。那么在a与b之间必能求得一点c(a<c<b)，满足等式

f(b)-f(a)

=f`(c)

b-a

证明，引入辅助函数，它在区间[a,b]内用等式

f(b)-f(a)

F(x)=f(x)-f(a)- (x-a)

b-a

定义着。这函数满足洛尔定理的一切条件，事实上，它在[a,b]内是连续的，因为它是连续函数f(x)与一线性函数的差。在区间（a,b)内它有确定的有穷导数，等于

f(b)-f(a)

F(x)=f(x)-f(a)-

b-a

最后用a和b直接代入，证实F(a)=F(b)=0，即F(x)在区间的两端点处具有相等的数值。因此，可以把洛尔定理应用于函数F(x)，并肯定在(a,b)内有点c存在，使F`(c)=0，这样，

f(b)-f(a)

f`(c)- =0

b-a

由此

f(b)-f(a)

f`(c)=

b-a

M B

A C

o a c x

图（1)

这就是所要证明的, 已证明的定理也称为（微分学中的）中值定理。洛尔定理是拉格郎奇定理的特别情形，前面所做洛尔定理的条件(1)和（2）的附注在此处仍为有效。转而讨论拉格郎奇定理的几何说明（图1），需指出，比式

f(b)-f(a) CB

b-a AC

是割线AB的斜率，而f`(c)是曲线y=f(x)上横标x=c的点的切线的斜率, 这样，拉格郎奇定理定理的论断就相当于：在弧AB上恒能求出至少一点M，在这点处切线平行于弦AB. 已证明的公式

f(b)-f(a)

= f`(c) 或f(b)-f(a)=f`(c)(b-a)

b-a

称为拉格郎奇公式或有限增量公式。它显然在a>b时有效,

取区间[a,b]内的任意数值x ,并给以增量△x>0或△x<0，以不至使它超出区间的范围为限

当△x>0时，应用拉格郎奇公式于区间[x ,x +△x]，

0 0

当△x<0时应用这公式于区间[x +△x,x ]。

0 0

这时介于x 与x +△x之间的数c可以表示为

0 0

c=x +θ*△x, 此处0<θ<1

上面的等式说明c是属于x0和x+△x之间的数，它的值等于x加上△x乘以参数θ的值的和参数θ的值可以根据函数的不同而发生改变. 注：有人说，θ是《真分数》，但不要以为它一定就是有理分数，数θ亦可以是无理数, 从而拉格郎奇公式公式就可以写成：

f(x +△x)-f(x )

= f`(x +θ△x) 拉格郎奇公式或有限增量公式.

△x 0

或△f(x )=f(x +△x)-f(x )=f`(x +θ△x)*△x (0<θ<1)

0 0 0 0

这个等式给出了在变元的任意有限增量△x时的函数增量的准确表达式。它自然是与近似等式

△f(x )=f(x +△x)-f(x )≈f`(x )*△x 近似等式

0 0 0 0

近视公式见微分是近似式的来源, 相对立着的，在近似等式里，只有当△x无限小时相对误差方才趋于零. 由此产生《有限增量公式》这个名称. 拉格郎奇公式的缺点是在公式内有我们所不知道的数θ（或c), 但这并不妨碍这个公式在分析学内各种各样的应用. 注：对于θ

仅在少数情形中我们可以确定它，例如，对于二次函数f(x)=ax +bx+c,很容易验证θ=1/2

1.函数的增量的公式

现在这里证明两个简单的命题，它们在以后是有用处的, 设函数y=f(x)是在区间Ж内定义着的。

从这个区间内的一个固定值x=x 出发，用△x＞0或△x＜0表示x的任意增量，

但需限制x +△x使不超出Ж的范围之外。

于是对应的函数的增量就是

△y=△f(x )=f(x +△x)-f(x )

0 0 0

1.若函数y=f(x)在点x 处有（有穷的）导数y` =f`(x ),则函数的增量可以表示为如下的

0 x 0

形式

△f(x )=f`(x )*△x+α*△x (2)

0 0

或更简短的

△y=y` *△x+α*△x (2a)

式中的α是依赖于△x的量，切随着△x一同趋近0, 因为由导数的定义，在△x→0时

△y

→ y`

△x x

故令

△y

α= → y`

△x x

把y` 移动方程左边，得

△y

α+y` =

x △x

方程两端同乘以△x,得

α△x+y` △x=△y

就看出也有α→0.由此解出△y，即得公式（2a), 因为量α*△x（在△x→0时）是较△x更高级的无穷小. 故使用在《无穷小的比较》内引入的记法，我们的公式就可以改写成为. 关于无穷小的比较可见无穷小的比较描述页.

△f(x )=f`(x )*△x+o(△x) （3）

0 0

或

△y=y` *△x+o(△x) （3a）

上式中o(△x)=α*△x

注：若无穷小β是比无穷小α更高级的，则这一事实就可以写成：

β=o(α)

例如，可以写

1-cosx=o(x).tgx-sinx=o(x）等等

这样，o(α)就可以作为比α更高级的无穷小的普遍记号。我们以后就要应用这种方便的记法. 附注，到现在为止，我们算作△x＞0或△x＜0，故量α在△x=0是不曾定义的, 当我们说在△x→0时α→0，必已预先假设（像通常那样）△x系依任何规律趋于0，但并不取得0值. 现在就令在△x=0时α=0，那时公式（2）在△x=0时自然仍为有效. 然除此以外，△x→0时α→0这一关系却可比以前得到更广义的理解. 就是在△x趋于0的过程中，它也可以取等于0的数值了. 由已证明的公式直接推得.

2.若函数y=f(x)在点x 处有（有穷的）导数，则函数在这点必然是连续的

实因，由（2a），很清楚地，由△x→0的关系就立即引出△y→0

107.微分是近似公式的来源

我们已经看到，在△x→0时函数y的微分dy（只要y` ≠0）是函数的无穷小增量△y的主

部。这样△y~dy，于是

△y≈dy （3）

上面的描述表明，当x的增量△x趋近于0时，函数y的微分dy就会约等于函数y的增量△y，前提是函数y对于x的导数的值不为0。或许更详细一点

△f(x )=f(x +△x)-f(x )≈f`(x )*△x （3a）近似等式

0 0 0 0

其不准确度是较△x更高级的无穷小。就是说等价无穷小中的

γ=o(α) 及 γ=o(β)

这个等式的相对误差可以小到任意程度，只要△x充分小. 注：等价无穷小的推导可见等价无穷小的推导页

考察一个简单的例子：设

y=x

则

3 2 2 3

△y=(x +△x) -x =3x *△x+3x *△x +△x

0 0 0 0

而成为△y的线性部分的（象我们在前面曾用普遍形式所确定的那样）实际上就是微分

dy=3x *△x=y` *△x

0 x

具体的假定

x =2.3

若取△x=0.1,那么就有

3 3 2

△y=2.4 -2.3 =1.657 及dy=3*2.3 *0.1=1.587

，于是由第一数换成第二数时的误差是0.070，而相对于误差超过4%。在△x=0.01时得△y=0.159391及dy=0.1587,所得相对误差已小于0.5%.在△x=0.001时，相对误差小于0.05%，余次类推. 类似的状况可以从图44微分的几何说明直接看出。在图线上很明显地可以看出，若我们把曲线的纵标的增量换成切线的纵标的增量. 则在△x越小时这种替换的相对性准确度就越大. 图44可以查可微性与导数存在之间的关系.

dy △y

M α N

α △x

o T x x~△x y

图44

为着要用几何图形说明函数y=f(x)的微分dy及它与增量△y的关系，试参考这函数的图线（44）. 变元的数值x及函数的数值y确定着曲线上的一点M。在曲线上的这一点处引切线MT，正如我们看到的[92]导数的定义，它的斜率tgα等于导数y`.若给横标x以增量△x，则曲线的纵标y就的增量△y=NM1。同时切线的纵标就得增量NK。把NK看做直角三角形MNK的一直角边而计算其长度，就得出

NK=MN*tgα=y` *△x=dy

因此，当△y是曲线的纵标的增量时，dy就是切线的纵标的对应增量. 最后再讨论到自变量x本身：称为它的微分的就是增量△x，即约定.

dx=△x

读者自能明了，把函数的增量△y换成它的微分dy时，其好处在于dy对于△x是线性关系，而△y通常确是△x的很繁复的函数. 若假定△x=x-x ,而x +△x=x

0 0

则等式（3a)的形式就成为

f(x)-f(x )≈f`(x )*(x-x ) 或f(x)≈f(x )+f`(x )*(x-x )

0 0 0 0 0 0

依这公式，在接近于x 的x的数值，函数f(x)可以用一线性函数近似地来替换。

在几何上，这对应将邻接于点（x ,f(x ))的曲线y=f(x)的小段改以曲线在这点的切线的小

0 0

段来代换, 曲线y约等于曲线上的各点x的切线的小段的和，见图（66）

o x

图（66）

这切线表示为

y=f(x )+f`(x )*(x-x )

0 0 0

参阅图44, 注：事实上，经过点（x ,y ）而有斜率k的直线方程是

0 0

y=y +k(x-x )

0 0

在切线的情形，应置

y =f(x ) , k=f`(x )

0 0 0

所以 y=f(x )+k(x-x )=f(x )+f`(x )*(x-x )

0 0 0 0 0

为简单起见，取x =0，并限于x的微小数值，就有近似公式：

f(x)≈f(0)+f`(0)*x

上面的方程表示函数f(x)的图像和x轴相交，即

x =0,f`(x ）=f`(0）=k

0 0

所以

f(x)≈f(0)+k*x=f(0)+f`(0)*x

由此，用各种初等函数代换这里的f(x)，很容易获得一系列的公式

(1+x) ≈1+μx, ,特别情形

1+x ≈1+ x

e ≈1+x , ln(1+x)≈x, sin x≈x, tg x≈x

,于类推，它们之中有很多是我们已经知道的

μ μ μ

(1+x) ≈(1+0) +f`(1+0) *x=1+μ*x

μ*3

μ 3 3 μ*3

(1+x) =(1+x) =( (1+x) )

1 μ*(μ+1)

≈(1+ *x)

μ+2

1 μ μ+1

=((1+ *x) )

μ+2

1 μ+1

=(1+ *μ*x)

μ+2

μ μ+1

(1+x) =1+ *μ*x

(1+1) =4

μ μ+1.5

(1+x) =(1+ *μ*x)

μ-1

(1+1) =7.75

模拟计算机利用下面的公式将乘方电路化成乘法电路。

μ μ+2 μ-1.5

(1+x) =(1+ *μ*x)+(1+ *μ*x)

μ-2 μ

(1+1) =13+3.5

μ μ+8 μ

(1+x) =(1+ *μ*x)+(1+ *μ*x)

μ-2 μ-2

(1+1) =22.66666+9.333333

μ μ+12 μ+1 μ-4

(1+x) =(1+ *μ*x)+(1+ *μ*x ) - ((1+ *μ*x) )

μ-4 μ-2 μ+1

(1+1) =55+11.5-2.71428

μ μ+24 μ+8 μ-5

(1+x) =(1+ *μ*x)+(1+ *μ*x ) - ((1+ *μ*x) )

μ-5 μ-2 μ+1

(1+1) =109.5+22-2.75

128

μ μ+50 μ+10

(1+x) =(1+ *μ*x)+(1+ *μ*x)

μ-6 μ-2

(1+1) =232+24

256

μ μ+50 μ+10

(1+x) =(1+ *μ*x)+(1+ *μ*x)

μ-6 μ-2

(1+1) =232+24

256

μ μ+90 μ+30

(1+x) =(1+ *μ*x)+(1+ *μ*x)

μ-7 μ-4

(1+1) =441+70.2

512

μ μ+180 μ+36 μ-8

(1+x) =(1+ *μ*x)+(1+ *μ*x ) - ((1+ *μ*x) )

μ-7 μ-4 μ+1

(1+1) =951+77.66666-2.8118181

1024

可以由下面的式子组成模拟计算机的电路计算幂函数。也可以使用模拟计算机用下面的方法计算一个数的开方

1 1*10

2 1 2

(1+x) ≈(1+ *x)

1 1*3

2 1 2

(1+x) ≈(1+ *1)

3 3

1 4 1 4

≈(1+ ) * (1+ )

3 3

1 3 1 3

≈(1+ * ) * (1+ * )

3 4 3 4

5 5

≈ *

4 4

≈

≈ 1.7857

很容易利用数学归纳法证明下列等式成立，可以由下面的式子组成模拟计算机的电路计算幂函数。

μ 1 μ 1 μ-1

(1+x) =(1+ *μ*x) +(1+ *μ*x)

μ+1 μ+3

(1+1) =2.7777+1.4

μ 1 μ+1 1 μ-2

(1+x) =(1+ *μ*x) +(1+ *μ*x)

μ+2 μ+4

(1+1) =6.4+1.4285

μ 1 μ+2 1 μ-3 1 μ-5

(1+x) =(1+ *μ*x) +(1+ *μ*x ) - ((1+ *μ*x) )

μ+3 μ+5 μ+6

(1+1) =15.0580+1.4444-0.71428

μ 1 μ+2 1 μ 1 μ-1

(1+x) =(1+ *μ*x) +(1+ *μ*x ) - ((1+ *μ*x) )

μ+4 μ+6 μ+7

1 μ-6

-(1+ *μ*x)

μ+8

(1+1) =22.0393+6.5108+4.02782-0.72222

μ 1 μ+3 1 μ+1 1 μ-7

(1+x) =(1+ *μ*x) +(1+ *μ*x ) - ((1+ *μ*x) )

μ+5 μ+7 μ+8

(1+1) =50.298359+14.2453-0.7000

μ 1 μ+4 1 μ 1 μ-8

(1+x) =(1+ *μ*x) +(1+ *μ*x ) - ((1+ *μ*x) )

μ+6 μ+8 μ+9

(1+1) =114.273+14.59889-0.69565

128

μ 1 μ+4 1 μ+3 1 μ-1

(1+x) =(1+ *μ*x) +(1+ *μ*x ) - ((1+ *μ*x) )

μ+7 μ+9 μ+11

1 μ-6

-(1+ *μ*x)

μ+9

(1+1) =168.9036+69.566789-4.02782

256

μ 1 μ+5 1 μ+4 1 μ

(1+x) =(1+ *μ*x) +(1+ *μ*x ) - ((1+ *μ*x) )

μ+8 μ+10 μ+12

1 μ-10

-(1+ *μ*x)

μ+11

(1+1) =383.126+154.6171-24.78093-0.55

512

μ 1 μ+6 1 μ+3 1 μ-9

(1+x) =(1+ *μ*x) +(1+ *μ*x ) - ((1+ *μ*x) )

μ+9 μ+11 μ+11

(1+1) =867.5816+158.0706-1.4761

1024

μ 1 μ+6 1 μ+5 1 μ+4

(1+x) =(1+ *μ*x) +(1+ *μ*x ) - ((1+ *μ*x) )

μ+10 μ+12 μ+14

1 μ-9

-(1+ *μ*x)

μ+15

(1+1) =128.72+520.0167+237.3763+2.02514

2048

μ 1 μ+7 1 μ+5 1 μ+4

(1+x) =(1+ *μ*x) +(1+ *μ*x ) - ((1+ *μ*x) )

μ+11 μ+13 μ+15

1 μ-10

-(1+ *μ*x)

μ+16

(1+1) =2913.8283+784.2403+359.0984+2.0

4096

,于类推，它们之中有很多是我们已经知道的

μ μ μ

(1+x) ≈(1+0) +f`(1+0) *x=1+μ*x

μ*3

μ 3 3 μ*3

(1+x) =(1+x) =( (1+x) )

1 μ*(μ+1)

≈(1+ *x)

μ+2

1 μ μ+1

=((1+ *x) )

μ+2

1 μ+1

=(1+ *μ*x)

μ+2

再引入一些其他类型的近似公式的例子，它们也是根据等式（3）得来的, 1）设有两端悬挂着的有重量的线（电线，锚索，皮带），用2s表示其长度，用2l表示跨度，用l表示垂度（图45），则在求s时经常应用着（近似公式）

2 f

s=l(1+ * )

3 1

现在把数量f当作自变量，而把s当作f的函数。要求建立长度s的改变量△s与垂度f的改变量△f之间的关系. 把△s换成ds，就得

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中国面包师贴吧-楼主(阅：1538/回：0)三角函数泰勒级数推导2