1.计算三角函数的公式，

推导过程可见《三角学专门教程上册》C.И诺屋塞洛夫著1956年版，

计算三角函数的公式，因为，角度是α的三角函数计算公式如下，

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一元多次方程式近似解法

访问码：c057

sin2α=2sinα*cosα

         2    2

cos2α=cos  α-sin  α

       2tgα    

tg2α=

            2

        1-tg   α      

sin(α+β)=sinα*cosβ+cosα*sinβ

                                        2      2     2

sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα=2sinαcos  α+(cos  α-sin  α)sinα

         2      2           3              

=3sinαcos  α-sin  α=3sinα-4sin  α

       1         n-1   3   3      n-3   5   5      n-5                  

sin nα=C   sinα*cos   α-C  sin  α*cos  α+C  sin  α*cos  α-...

            n               n               n

         n    2   2     n-2   4   4     n-4

cosnα=cos  α-C  sin  α*cos  α+C  sin  α*cos  α-...

                   n               n

        当n=4时

               3     3                              

sin 4α=4sin α*cos  α-4sin  α*cos α

         4      2      2      4              

cos 4α=cos  α-6sin  α*cos  α+sin  α

当n=5时

               4       3      2     5            

sin 5α=5sin α*cos  α-10sin  α*cos  α+sin  α

         5       2      3      4              

cos 5α=cos  α-10sin  α*cos  α+5sin  α*cos  α

为了用弧α的三角函数表示弧α/n的三角函数，而作公式时，会遇到必须解高次方程这种代数方面的困难。如果在公式(B)中将nα换成α，而将α换成α/n，并用余弦表示正弦的幂，则得出按已知值cosα求未知量x=cos(α/n)的方程。

         n    2   2     n-2   4   4     n-4

cosnα=cos  α-C  sin  α*cos  α+C  sin  α*cos  α-...

                   n               n

这个方程一般有n个不等的实根。事实上，所有余弦为已知值cosα=m的弧的集合，由下公式确定：α=±arc cos m+2kπ,

由此，

α       arc cos m    2kπ            

       =±           +  

   n          n         n        

如果选取＋号。则得无限多个弧,

α       arc cos m    2kπ            

       =            +                      (2)

   n          n         n    

它们只终于单位圆上n个几何方面不同之点，因为给数k加上n的整数倍的项等于给α/n加上2π的倍数（就是说，得到终于同一点的弧）。因而

       arc cos m    2kπ            

cos(            +        )              

              n         n    

(在一般情况)有n个相异的值，同样，所有形如

α       arc cos m    2kπ            

       =-            +                      (3)

   n          n         n    

的弧终于n个几何方面不同的点。组(2)与组(3)中的弧两两关于横坐标轴对称，即如在(3)中任意整数k换成-k，则得与组(2)中某一个弧相反的弧。弧的符号的改变不影响余弦的值，因而x=cos(α/n)在一般情形有n个相异的实根。例如，当n=3时我们得到三次方程

       3    2     2     3-2          

cos α=x   - C   (1-x    )x

           3

         3       2                    

  cos α=x   - 3(1-x   )x  

       3

cosα=4x   -3x

或

         3     3      cosα                                    

x   -       x-       =0              

               4       4

这个方程可以用根式来解，但这里(在一般情形)是不可约的情形，它说明存在有三个实根。卡但公式给出,

                               3                    

                    2                                2              

      cosα       cos  α-1          cosα            cos  α-1    

x=         +               +              -                              

       8           64                8               64  

所以

                                     3                    

                          2                                 2              

    α      cosα        cos  α-1           cosα            cos  α-1    

cos    =           +               +              -                              

     3      8            64                8               64  

一元三次方程的解为：

  3

y    +px+q=0

    3                                3                    

                    2         3                        2      3        

       q           q        p            q           q      p            

y=         +            +         +          +           +          

       2           64       27           2           4      27        

因为

   2

cos  α-1≤0

故在一般情形(当α≠2kπ时)立方根下含有虚数，而且x不能用根式表出。

                  k                

在特别情形，当n=2   时, 连续应用下面的公式，

               1+cosα          

cos(α/2)=±                                        

                  2

               1-cosα          

sin(α/2)=±                                        

                  2

可以得出借助平方根式，用自变量α的函数，

              α            

表示自变量         的三角函数公式。例如                  

                k              

              2      

    α         1      α           1+cos(α/2)

cos     =cos(      *      )=±

     4        2       2             2

                 1+cosα

         1±                       √2±      1+cosα          

                  2              

=±                       =±                    

              2                        2√2  

例如，当n=4时我们得到三次方程

      4    2     2   4-2   4     2    4-4

cos α=x   - C   (1-x   )x   + C   (1-x   )x

                4               n

                2    2       2              

cos α=x- 6(1-x    )x   + (1-x   )

             4    2                          

cosα=6x  -7x   +x+1

         4   2                                      

6x   -7x  +x+1-cosα=0

根据费拉里求根公式

  4     2                                  

x   -7x/6  +x/6+1/6-cosα/6=0

将上面方程转化为下面形式：

  4    2                              

x   +px  +qx+r=0

上式中, p=-7/6, q=1, r=1/6-cosα/6,

解得,

                              p              q

   2t   ±           2t   -4(      +t    +             )    

     0                 0      2           2    2t      

                                                 0                        

x=                                                       -a/4        

                         2

其中

         3                                3            

                           2        3                     2       3                                            

            -q`           q`       p`          -q`         q`       p`      

t    =          +             +        +         +           +      -p/3     (6)                

  0          2            4      27           2          4      27          

         3                                3            

                           2        3                     2       3                                            

            -q`           q`       p`     2    -q`         q`       p`      

t  =ε          +             +        +ε         +           +      -p/3     (7)                

  1          2            4      27           2          4      27          

         3                                3            

                           2        3                     2       3                                            

      2     -q`           q`       p`          -q`         q`       p`      

t  =ε          +             +        +ε         +           +      -p/3     (8)                

  2          2            4      27           2          4      27          

上式中,

      2                      

p`=-r+p  /4-p/3=-1/6+cosα/6+(49/36)(1/4)+(7/6)(1/3)=-1/6+cosα/6+49/144+7/18

     3         2      2                                      

q`=-p  /27-p(-r+p  )/12-q  /8=-347/5832+7(1/6-cosα/6+49/36)/72-1/8

2.一元三次方程的解

推导过程可见C.H.诺珪塞洛夫著代数与初等函数，1954年版,

注意：卡但公式如下：

一元三次方程的解为：

  2

y   +px+q=0

         3                                3            

                           2        3                     2       3                                            

            q            q       p           q          q       p      

y =          +             +        +         +           +                    

             2            4      27           2          4      27          

我们来研究三次方程;

  3       2                          

x   +a   x   +a  x+a  =0的解,

      2        1    0    

  3          

我们设x   的系数a   等于1并不损害一般性，因为如果a   ≠1,那么把方程逐项除a ,

                   3                                 3

就得到与给定方程等价的形如(1)的方程。令x=y+h, 将方程(1)变成新未知数y的方程，此处h要这样选择,   使变形后的方程不再包含未知数的平方。

                2                    

容易直接算出，y    的系数是3h+a   , 由条件3h+a   =0得                            

                                2              2

              a      

                2

h=-

              3

经过变形取新未知数y之后，方程（1）具有形式：

          3            

y    +py+q=0          (2)

         3           2                              

(y+h)   +a   (y+h)   +a  (y+h)+a   =0

              2           1       0

因为,

              a      

                2

h=-

              3

所以,

  3      2      2     2     2             2   3                                                                    

y   +3hy   +a  y  +3yh  +2yh  +2a  hy+a  h  +h  =0

             2                   2     2                                

  3     2     2             2    3                                                                    

y   +3yh  +2yh  +2a  hy+a  h  +h  =0

                   2     2                                  

可设,

   3

y    +px+q=0              (2)

引入两个新未知数u及v，设y=u+v,

方程(2)取得形式：

  3   3                  

u  +v   +(u+v)(3uv+p)+q=0           (3)

未知数u与v中之一可以任意选择。利用这一点，我们这样选择u及v，使合乎条件：3uv+p=0,

或,          

              p

uv=-                        (4)

              3

这时方程(3)取形式:

  3     3  

u    +v   =-q

将(4)立方起来，得：

                       3      

           3   3     p

u   v   =-                    

                     27

        3     3                          

因此，u   与v   是二次方程

                    3      

          2       p

z   +qz-        =0    的根，而可以令      

                  27

                     2        3                            

3      q          q        p        

u   =-        +         +                  

        2           4       27          

                     2        3                            

3      q          q        p        

v   =-        -         +                  

        2           4       27          

由此得三次方程的解的公式，叫做卡但公式：

         3                                3            

                           2        3                     2       3                                            

            -q            q       p           -q          q       p      

y =          +             +        +         -           +                    

             2            4      27           2          4      27        

在卡但公式中，把第一个根式的三个值中的每一个与第二个根式的三个值中的每一个组合起来，其中只有三个是给定方程的解。事实上，u和v的值不能选择得彼此独立，因为它们必须满足条件(4)。设u是第一个根式的一个值，这时候u的所有三个可能值是：

                             2                                

u   =u,u   =εu,u   =ε  u

          1      2      3

          2

此处ε与ε    是1的三次虚根。v的对应值可由关系式(4)求得：

                  p

v   =-        ,              

           1     3u

                             2       2  

                  p        p       p       2      

v   =-        =       =-         ε        ,              

           2                 3                

                 3uε      3uε      3u

                  p        p        

v   =-        =-      ε       ,              

           3        2                        

                 3uε      3u    

三次方程的根由关系y=u+v决定，因此，所求的根是,

                  p

y   =u-        ,              

           1     3u

                   2   p

y    =εu-ε         ,              

           2          3u

                2      p

y    =ε  u-ε        ,              

           3           3u

最后的公式无意义，若u=0，即

                     2        3                            

      q          q        p        

        -     -         +          =0        

        2           4       27      

此时,

                    3            

                  p

    =0  或p=0,    

                 27

                       3  

在这种情形下，方程取y    +q=0形式，而可以直接来解：

             3  

y=    -q

若在卡但公式中令p=0，也能得到同样结果。

例1.解方程

                3    2                                      

x   -3x  -3x+11=0

解;令x=y+h, 得

        3        2             3    2                

y   +(3h-3)y  +(3h-6h-3)y+(h  -3h  -3h+11)=0

令, 3h-3=0, 得, h=1,

方程取形式：

                    6    

y   -6y+6=0

在卡但公式中，令p=-6,q=6, 我们有：

                                3      

                           6       3      

           u=     -3 +    9-        =   -2  

                        27      

确定v:

              p          6          3      

v=-       =-            =-      4   ,              

              3u        3

                     3      2  

由此，得

          3          3    

y  =u+v=-     2    -      4        

1

      3         -1+i    3    3        -1-i     3      

y  =-     2   (            )-   4   (               )      

  2                 2                      2      

       1     3           3         √3    3        3                

   =       (     2    +     4   )+i      (     4   +    2   )

       2                            2                

      3         -1+i    3    3        -1+i     3      

y  =-     2   (            )-   4   (               )      

  3                 2                      2      

       1     3           3         √3    3        3                

   =       (     2    +     4   )-i      (     4   -    2   )

       2                            2                

因而得：

          3          3    

x  =    2    -      4  +1      

       1

       1     3           3          √3   3        3                

x  =       (     2    +     4  )+1+i      (     4   +    2   )

2     2                             2                

       1     3           3          √3   3        3                

x  =       (     2    +     4  )+1+i      (     4   -    2   )

3     2                             2                

3. 我们来研究四次方程;

  4       3        2                                                      

x   +a   x   +a   x   +a   x+a   =0                (1) 的解

       3       2        1                      

       4        

我们设x   的系数a   等于1并不损害一般性，

                  4    

因为如果a   ≠1,那么把方程逐项除以a     ,

           4                         4

就得到与给定方程等价的形如(1)的方程。令x=y+h, 将方程(1)变成新未知数y的方程，此处h要这样选择, 使变形后的方程不再包含未知数的平方。

                2             2                  

容易直接算出，y    的系数是6h   +a  +3a   h,

                                   2    3

         2                

由条件6h   +a   +3a  h=0得

              2     3

                          2      

            -3a   ±     9a   -24a          

               3          3     2      

        h=  

                    12

经过变形取新未知数y之后，方程（1）具有形式：

  4   3                          

y  +ty  +py+q=0          (2)

    4           3          3                          

(y+h)   +a  (y+h)  +a   (y+h)  +a   (y+h)+a  =0

          3         2          1        0

因为,

                          2      

            -3a   ±     9a   -24a          

               3          3     2      

   x=y+h=y+  

                    12

所以,

  4           3   2   2   3    4        2        2       3     2            2  

y   +(4h+a  )y  +6h  y  +4h  y+h  +3a  hy  +3a  h  y+a  h  +a  y  +2a  hy+a  h  

          3                         3        3       3      2       2     2                                      

+a    y +a   h+a

   1      1     0

可设,

                          2      

            -3a   ±     9a   -24a          

               3          3     2      

       h=  

                    12

t=4h+a

            3

            3         2                                  

       p=4h   +3a   h    +2a  h+a      

                  3          2                                        

       q=a   h+a

           1     0

引入两个新未知数u及v，设y=u+v,

方程(2)取得形式：

               4       2                                                                                                      

(u+v)   +t(u+v)  +p(u+v)+q=0

               4     3    3     2        2                                  

(u+v)   +tu   +tv   +3tu   v+3tuv  +pu+pv+q=0

               4    3    3                                                    

           (u+v)  +tu  +tv   +uv(3tu+3tv)+p(u+v)+q=0

                   3            3    3                              

(u+v)[(u+v)   +3tuv+p]+tu  +tv  +q=0            (3)

未知数u与v中之一可以任意选择。利用这一点，我们这样选择u及v，使合乎条件：

     3                              

(u+v)   +3tuv+p=0              (4)    

这时方程(3)取形式:

            3     3                            

tu   +tv   +q=0            (3*)

因此，u与v是三次方程组

               3          

(u+v)   +3tuv+p=0            (4)  

   3    3                          

tu   +tv   +q=0              (3*)  

的根，解上面的方程组,由(3*)得,

            3    3                                      

u   +v   =-q/t

                3                                  

                       3                          

                 -q-tu            

          v=                           (5)  

                    t        

由(4)得,

          3    3     2      2                                        

u   +v   +3u   v+3uv  +3tuv+p=0

因为,

            3    3            

u   +v  =-q/t

所以,

                2       2                                  

         -q/t+3u   v+3uv  +3tuv+p=0

            2      

        3uv   +3u(u+t)v-q/t+p=0  

                        2     2                        

         -3u(u+t)±     9u  (u+t)  -12u(-q/t+p)

v=                                                 (6)      

                     6u    

由(5)和(6)得,

                        2     2               3        3

         -3u(u+t)±     9u  (u+t)  -12u(-q/t+p)c        -q-tu                

                                     =    

                     6u                             t

此处作近似运算，假设, 根据下列近似公式, 1+a≈1+a/n, 此处｜a｜<1,

推导过程可见C.H.诺珪塞洛夫著初等代数专门教程，§37数的开方，1956年版,

                        2     2              

                     9u  (u+t)  -12u(-q/t+p) ≈9u(u+t)-6u  (-q/t+p)            

                           3        3        

                       -q-tu            -q    -tu/3    

                          ≈   3          

                         t              t

所以,

                                           3  

         -3u(u+t)±9u(u+t)-6u   (-q/t+p)            -q   -tu/3  

                                 ≈     3

                 6u                           t

          3                             3              

             t   [9(u+t)-6    (-q/t+p)] ≈6    -q   -2tu

   3        3                           3              

9u    t  +     t   [9(u+t)-6   (-q/t+p)]  -6    -q   +2tu≈0

   3        3                        3              

3u    t  +     t   [3t-2   (-q/t+p)]  -2    -q   +tu≈0

            3                        3              

-     t   [3t-2   (-q/t+p)]  -2    -q  

u≈

                   3

                 3      t    +t                  

将(7)代入(5)中                                    

                   3       3            

                       -q-tu          

         v=                      

                         t          

                   3                  

                          3      

         v=    -q/t-u                  

    3

            3                        3              

-     t   [3t-2   (-q/t+p)]  -2    -q    3

v≈  -q/t-[                                    ]             (8)

                   3

                 3      t    +t        

因为, y=u+v,

            3                        3              

-     t   [3t-2   (-q/t+p)]  -2    -q  

y≈                                            

                   3

                 3      t    +t        

    3

            3                        3              

-     t   [3t-2   (-q/t+p)]  -2    -q    3

+  -q/t-[                                    ]            

                   3

                 3      t    +t      

这就得到下面方程的近似解.

  4    3                

y   +ty  +py+q=0

因为, x=y+h,

            3                        3              

-     t   [3t-2   (-q/t+p)]  -2    -q  

x=y+h≈                                            

                   3

                 3      t    +t        

    3

            3                        3              

-     t   [3t-2   (-q/t+p)]  -2    -q    3       -3a    ±    9a  -24a

+  -q/t-[                                    ]     +      3          3    2              

                   3                                          12

                 3      t    +t      

其中      

  -3a    ±    9a  -24a

           3          3    2              

  h=                

   12

t=4h+a

      3

     3         2                                                      

p=4h   +3a   h    +2a   h+a

           3         2      1

               4        

q=a   h+a   +h

    1     0                                                

这就得到下面方程的近似解

  4      3      2                                                

x   +a  x  +a  x  +a  x+a  =0                 (1)

      3      2      1    0

4. 如果在公式(A)中将nα换成α，而将α换成α/n，

并用余弦表示正弦的幂，则得出按已知值cosα求未知量x=cos(α/n)的方程。

  1    2  (n-1)/2   3   2  (n-3)/2   3   5    2  (n-5)/2   5                

sin α=C   (1-x  )     *x -C  (1-x  )      *x  +C  (1-x  )      *x    ...      

     n                n                  n

这个方程一般有n个不等的实根。

事实上，所有余弦为已知值sinα=m的弧的集合，由下公式确定：

α=±arc sin m+2kπ,

由此，

             α      arc sin m      2kπ

                 =±            +            

             n          n          n      

如果选取＋号。则得无限多个弧,

             α      arc sin m      2kπ

                 =             +            (2)

             n          n          n    

它们只终于单位圆上n个几何方面不同之点，因为给数k加上n的整数倍的项等于给α/n加上2π的倍数（就是说，得到终于同一点的弧）。因而

                    arc sin m      2kπ

                cos(            +      )    

                        n          n    

(在一般情况)有n个相异的值，同样，所有形如

             α      arc sin m      2kπ

                 =-             +            (3)

             n          n          n  

的弧终于n个几何方面不同的点。组(2)与组(3)中的弧两两关于横坐标轴对称，即如在(3)中任意整数k换成-k，则得与组(2)中某一个弧相反的弧。弧的符号的改变不影响余弦的值，因而x=sin(α/n)在一般情形有n个相异的实根。

例如，当n=3时我们得到三次方程

                               3      

sinα=-4x  +3x

所以,

                         3      

-4x  +3x-sin=0

       1    2          3     2  0     3                                

sin α=C   (1-x   )*x   -C    (1-x  )   *x

      3                3      

          2         3                            

sin α=3(1-x    )x   -x

.

       3          

sinα=-4x  +3x

根据卡但公式,

  3

y  +px+q=0      (2)

上面方程的解是

         3                                3            

                           2        3                     2       3                                            

            -q            q       p           -q          q       p      

y =          +             +        +         -           +                    

             2            4      27           2          4      27        

因为,

   4

-4x  +3x-sinα=0

所以,

  3      3    sinα                          

x    -      x+     =0

         4     4

        3                            

p=-    

        4    

        sinα                          

q=-    

         4    

         3                                3            

                           2                              2                                                

            3           sin  α    1            3        sin  α    1      

y =          +             -        +         -            -                    

            8            64      64           8          64      64      

        2            

因为, cos  α-1≤0

故在一般情形(当α≠2kπ时)立方根下含有虚数，而且x不能用根式表出。

                  k              

在特别情形，当n=2   时, 连续应用下面的公式，

             1+cosα      

cos(α/2)=±

               2  

             1-cosα      

sin(α/2)=±

               2  

可以得出借助平方根式，用自变量α的函数，

             α

表示自变量       的三角函数公式。例如    

              k

            2

                                                       1-cosα        

    α         1     α 1-cos(α/2)       1±                √2±  1-cosα          

sin      =sin(      *      )=±              =±             2   =±      

     4         2     2             2                2                    2√2

例如，当n=4时我们得到三次方程,

       3                

sinα=-4x  +3x

所以,

   3                    

-4x  +3x-sin=0

      1    2        3    2  0  3                                  

sin α=C  (1-x  )*x  -C  (1-x  )  *x

      4             4