下面介绍一种可以计算出速度，加速度和功率，位移之间关系的运动方程模拟计算机。用加法器乘法器，积分电路，导数电路按照运动方程的公式进行构造电路，就会计算出位移和功率之间的关系。

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运动方程模拟计算机

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第一部分

推导过程可参见1992年版《高等数学》，盛祥耀主编，高等教育出版社出版

3.22二阶导数及其力学意义

注：二阶导数就是一阶导数的导数，它在几何上有其重要意义。简单的说，二阶导数的正负表示一阶导函数的增减性，也就是表示函数的凹凸方向。

                sint            

例如，求函数y=e      的二阶导数, 我们先求其一阶导数：

      sint      sint         sint                    

f`(t)=(e     )`=e     (sint)`=e     cost

再对所得一阶导函数求导数，则得二阶导数，故

      sint      sint         sint      

f``(t)=(e    cost)`=e     (cost)`+cost(e      )`

      sint             sint                        

=e     (-sint)+cost*e     (sint)`

      sint             sint           sint      2

=e     (-sint)+cost*e     cost   =e     (cos   t-sint)

            2     2     sint                

或者      d   y/dt    =e     (cos   t-sint)

二阶导数在力学上具有明显的意义; 我们来考虑一下物体依S=f(t)作运动时的情形。在3-7、2内我们已经知道，在3-7、2内我们已经知道，其运动速度的值定义为路程对时间的导数，即, v=S`    或or  v=dS/dt, 如果物体的运动是非等速的，那么，速度v就在各个时刻皆不相同，且在时间间隔△t内必得一速度的增量△v, 在这种情况下，在单位时间内速度的变化△v/△t就叫由t到t+△t时间内的平均加速度，而在给定的时刻t时的加速度将等于，, 当△t→0时，平均加速度的极限，把给定时刻的加速度记作j,就可写成：

             △v

j=    lim            =v`

    △t→0    △t       t

或            dv       但v`    =(S`     )`=S``,

j=                   t      t            

             dt

                              2  

或           dv   (ds)        d  S        

                 =        

             dt    dt            2

                              dt

                            2

                          d   s      

所以,j=(S`   )`=S``,也就是 j=

         t                    2

                           dt

于是，物体在给定时刻的运动加速度等于路程对时间的二阶导数。

例1.设点依规律S=2t   -3t+5作抛物线运动，试求点在时刻t=5时的速度与加速度。为了确定速度，必须求出给定函数在t=5时的一阶导数，于是:

       2

v=S`=(2t   -3t+5)`=4t-3

并且  v       =4*5-3=17    

          t=5

加速度j等于当t=5时函数的二阶导数，即, j=S``=(v)`=(4t-30)`=4,

                            2

                          d   s      

或or                 =4

                             2

dt

这样看来加速度对任何t值都是常量，这就是说点依给定的规律作等加速运动。

第二部分

推导过程可参见1992年版《物理学》，李廼伯主编，高等教育出版社出版

运动学方程

如果图1-1中的质点P在运动，那么，它的位置矢量r将随时间变化，也就是说，位置矢量r是时间t的函数。

r=r(t)                  1-2a

位置矢量r随时间t变化的函数式称为质点的运动学方程。很明显，这时，质点的坐标x、y和z也是时间t的函数：

x=x(t)

y=y(t)     }         1-2b

z=z(t)

上式称为质点运动学方程的直角坐标分量形式。它表示，质点在空间的运动r`=r(t)可以看作是质点在x\y和z轴上同时参与三个直线运动x=x(t),y=y(t)和z=z(t)。式1-2b中的三个直线运动称为式1-2a所表示的质点运动在三个坐标轴上的分运动，中学物理曾讨论过质点作匀加速直线运动，它的运动学方程为

                2  

x=x   +v   t+at   /2

    0   0

式中，a是质点的加速度，v   是质点初始时刻(t=0)的速度，称为初速度，

                         0

x    是初始时刻质点位置的坐标，还讨论过质点作平抛运动，它的运动学方程为

  0

x=v   t

   0          }

      2

y=H-gt   /2

式中，v   是质点水平抛出的初速度，H是初始时刻质点矩原点的高度，g是重力加速度，

        0      

负号表示加速度g的方向与y轴的正方向相反。上述讨论表明，质点的曲线运动可以用直角坐标系分解为两个（平面上质点的运动）或三个（空间中质点的运动）直线运动。由此可见，直线运动是分析曲线运动的基础。

例1-1.湖中有一小船，岸边有人用绳子跨过水面高H的滑轮拉船靠岸，如图1-2，设绳的原长为l   ，人以匀速v    拉绳。试写出小船的运动学方程。

       0            0

解.建立如图所示的坐标轴OX，按题意，初始时刻(t=0)，滑轮至小船的绳长是l     。

                                                                      0

此后某时刻t，绳长减少到l   -v   t,     此刻船的位置坐标是

                         0    0

                       2

    x=        (l  -v   t)   -H  

            0  0                        

上式是小船的运动学方程。它指出小船位置x随时间t变化的规律。

1-2位移，路程

位移.质点从位置A沿一曲线移动到位置B，如图1-3所示，用从A指向B的矢量△r表示质点位置的移动。把△r称为这段时间内的位移。位移是描述一段时间内质点位置变更的物理量。它同时指出质点位置变更的距离和方向。它只和始、末两位置有关，与轨道曲线无关。从A到B的位移等于质点在B（末位置）的位置矢量r   和质点在A（初位置）的位置

                                                 B        

矢量r    之差

      A

△r=r   -r                      1-3a

     B   A

在直角坐标系中，位移

△r=△xi+△yj                  1-3b

式中

△x=x  -x

     B   A           }

△y=y  -y

     B   A

是同一段时间内质点坐标的增量。路程.图1-3中，质点从A到B走过的路程是质点沿轨道曲线从A到B经历的长度。路程是恒为正值的标量。

随着时间增加，路程跟着增加。即路程是正的增函数。通常，用符号△s或s表示路程。

无穷小位移

图1-4a画出某质点所经历的一段轨道的曲线。

t    、t     、t     、t      各时刻质点分别位于A、C、D、B各点。

         1       2      3

t～t   、t   ～t   、t    ～t   三段时间内质点的位移分别是△r    、△r    、△r

1    1     2    2      3                               1        2       3

由图可知，t～t     时间内的位移

              3

△r=△r   +△r    +△r                      1-4

       1      2       3

上式指出，总位移等于各分段位移矢量和。

如果把t～t    这一段时间细分为无穷多段时间间隔，就得到无穷多个无穷小位移。

           3

用符号dr表示无穷小位移.它的大小是无穷小量，它的方向是沿轨道的切线指向质点前进的方向。如图1-4b所示，从图中还可以看出，这些无穷小位移的矢量和仍然是△r。在dt时间内的位移dr是无穷小矢量，对应的路程是无穷小标量。用符号ds表示无穷小路程，图1-4b表明

│dr│=ds               1-5

上式指出，在无穷小时间内，位移的大小│dr│等于对应的路程ds.

1-3.速度，速率

平均速度和平均速率

图1-5中，设t时刻，质点在A处，t+△t时刻运动到B点。△t时间内，从A到B质点的位移是△r，经历的路程是△s. 当△r一定时，如果△t越小，质点从A到B的变化越快；如果△t较大，则从A到B的变化较慢。为了描述△t时间内单位时间位置的变化，引入平均速度的概念。把△r与△t之比称为△t时间内质点的平均速度，用符号v表示,

v   =△r/△t                  1-6

如果质点作变速圆周运动，除了上述法向加速度外，还应有描述质点速率变化的加速度。可以证明，这个加速度是沿切线方向，即在切线坐标轴上：其大小等于质点速率v对时间t的导数dv/dt, 称为切向加速度，用符号a   表示

                                 x

a   =dv/dt

  x

法向加速度描述质点的速度方向的时间变化率；切向加速度描述质点的速度大小对时间的变化率。法向加速度a    和切向加速度a     互相垂直，它们是加速度a的两个分量。

                  n                  r

它们是加速度a的两个分量。用它们可求得加速度a的大小

            2   2                      

a=       a    +a                   1-17a

            n   r              

   和方向（用c与速度v之间的夹角φ表示）

    tgφ=a     /a              1-17b

          n     r

质点作一般曲线运动时，速度的大小在变化，方向也在变化，其加速度a也可分解为切向加速度a    和法向加速度a     .

      n                  r

注：对一般曲线运动，式（1-16a）中的R为曲线在该点的曲率半径。质点作直线运动时，速度的方向没有侧向变化，因而没有法向加速度，或者说，其法向加速度等于零。

例1-3.已知质点的运动学方程是

         2    3                  

x=A+Bt+Ct  +Dt

其中A、B、C、D是有不同量纲的常量，t是时间，求它的速度和加速度,     解.此质点是在直线OX上运动，它的速度:

                        2      

     v  =dx/dt=B+2Ct+3Dt        

       x

再求导数，可得加速度

      a   =dv  /dt=2C+6Dt

        x    x

上式表明，该质点作变加速直线运动。

  例1-3a.已知质点的运动学方程是

          2    3   4                

x=A+Bt+Ct  +Dt  +Et    

其中A、B、C、D、E是有不同量纲的常量，t是时间，求它的速度和加速度,

解.此质点是在直线OX上运动，它的速度

                       2     3        

   v   =dx/dt=B+2Ct+3Dt  +4Et          

    x

再求导数，可得加速度

a  =dv   /dt=2C+6Dt+12Et

  x    x                      

上式表明，该质点作抛物线性变加速直线运动。即，该物体运动时的加速度按抛物线的形状变化. 质点运动时的功率是W，运动时所受的力是F, 质点的质量是m,运动时的功率是P, 所以,

W   =F  *x      , F   =m*a             , P  =W  dt

  x    x            x       x             x    x

W   =m*a   *x=m*a   *         v   dt =m*a   *            a   dt    

   x      x        x             x          x               x                    

P  =W   dt=m*a   *       a  dt=m*a  *v      

  x   x         x           x       x    x

                  2            2      3                                          

   =m*(2C+6Dt+12Et   )(B+2Ct+3Dt   +4Et   )                  

P  dt=m*(a  dt*v  +a  *v  dt)

   x       x     x   x   x            

P   dt

  x

         =a   dt*v  +a  *v   dt      

  m        x      x   x   x

P   dt

  x                        2

         = [(v  dt)dt]*v   +(v  dt)      

  m          x        x   x  

               2        

P   dt      dv        dv

  x                           2        

         =v        +(        )

  m           2

             d  t       dt

设v=y,y`=dv/dt,                                            

P   dt    

  x                

         =k

  m                      

把上面的方程化为下面的微分方程

      2                        

yy``+y`  =k

解.设y`=p(y),则y``=p(dp/dy), 代入原方程得

            2        

y*p(dp/dy)+p  =k

p[y(dp/dy)+p]=k

在y≠0,p≠0时，分离变量，得

y(dp/dy)+p=k/p,

dp/dy=[k/p-p]/y,

dy        dp

            =

y         k/p-p

              2

y          k-p

            =

dy         p*dp

两边同时积分，得

dy           p*dp

            =

y                2

              k-p

                     2

dy       1         dp

            =

y        2           2

                  k-p

因为

dx/(a+bx)=ln│a+bx│/b+C

所以

          2

lny=-ln│k-p  │/2+C

                  1

所以                                          2

                                       -C   x              

                 2                        2          

2lny=-lnk+C  +C  x  +lnC     或y=C   k*e       /2

          1   2       3          3      

   因为v=y,        

P   dt    

  x                

         =k

  m    

所以,                       2

           P   dt     -C   x  

             x          2

v    =C            *e      

  x     3    2m      

                                        2

                         P  dt    -C   x

                          x         2

x=      v  dt=      [C          *e         ]dt

                      3   2m

这样就得到一个功率P和位移x的关系式，利用这个关系式可以根据功率计算位移。

注：解法2

因为，

          dx/(a+bx)=ln│a+bx│/b+C

所以

          2

lny=-ln│k-p  │/2+C

                  1

所以                                     2                

                                    -C  k    

          2                           2    

2lny=-C  k   +C   +lnC     或y=C  *e    

      2       1      3         3

因为v=y,

P   dt    

  x                

         =k

  m    

所以

                  P  dt          

                   x      2        

            -C   (        )       P   dt                      

               2    m              x     2    

v  =C  *e                  +C  (        )    

  x   3                        3    m    

这样根据瞬时功率就可求出质点在t时间内运动的位移x

推导过程参见《高等数学》，北京大学出版社2005年出版，林益，李伶主编

例18，求解微分方程

                  2        

y`y``-y`  =0

     解.设y`=p(v),则y``=p(dp/dy), 代入原方程得

                     2

          y*p(dp/dy)-p  =0

p[y(dp/dy)-p]=0

在y≠0,p≠时，分离变量，得

dp/p=dy/y，p=y*dp/dy，dy=y*dp/p，设dp/dy=C

                                         1  

p=C  y

           1  

设dp/dy=C    ，y`=C  y

          1         1  

再分离变量并积分，得方程的通解为

      ln│y│=ln│y`│+C

所以，

                       C   x    

                         1  

lny=C  x+lnC   或y=C  e

     1     2        2

若p=0,则y=C(C为任意常数), 因此原方程解可统一表为

                       C   x    

                         1  

y=C  e

       2

   第三部分  

  例1.有一物体在空中运动，在t  -t  时间作匀加速直线运动

                              0   1

此时，它在x轴的位移是x   ,瞬时速度是v  ，瞬时加速度是a    

                        1              tx1              tx1

此时，它在y轴的位移是0   ,瞬时速度是0  ，瞬时加速度0

在t   -t  时间作平抛运动,  

    1   2                

此时，它沿x轴的位移是x    ,瞬时速度是v    ，瞬时加速度是a                                    

                        2               tx2                tx2

此时，它沿y轴的位移是y    ,瞬时速度是v    ，瞬时加速度是a

                        2               ty2                ty2

在t   -t  时间作变加速直线运动,

    2   3

此时，它沿x轴的位移是x   ,瞬时速度是v  ，瞬时加速度是a

                        3              tx3               tx3

此时，它沿y轴的位移是y    ,瞬时速度是v    ，瞬时加速度是a

                        ty3             ty3                 ty3

求这个物体运动的运动方程  

解; 因为该物体在第一阶段做的是匀加速直线运动，中学物理曾讨论过质点作匀加速直线运动，它的运动学方程为

                              2          

                  x=x  +v  t+at  /2  

                     0   0

式中，a是质点的加速度，v   是质点初始时刻(t=0)的速度，

                        0

  称为初速度，  x    是初始时刻质点位置的坐标，

                  0

所以，这个物体在t    -t    时刻的运动方程为

                  0    1

                      2                            

x  =x  +v  t  +a  t  /2

     1   0   1  1   1  1

上式中x    表示该物体的初始位置坐标,  上式中x   表示t   -t    时刻的位移，  

        0                                     1       0    1

上式中v    表示t   -t    时刻的速度，上式中a  表示t   -t    时刻的加速度，  

         1        0    1                     1      0    1  

上式中t    表示t   -t    时刻的总时间，在对x   关于时间t   求微分                                          

    1        0     1                     1           1  

                                 2      

  x    *dt=(x    +v   t   +a    t   /2)*dt =v    +a   t              

     1       0     0  1     1   1          0    1   1

x位移对时间的微分就等于物体的瞬时速度v        , 即

                                        tx1      

v   =x  *dt  =v   +a  t

   tx1  1   1   0    1  1                  

x位移对时间的二阶微分就等于物体的瞬时加速度a     , 即

                                             tx1

        a   =v    *dt   =a

          tx1  tx1     1   1

x位移对瞬时速度v   的微分    

                  tx1

                                  2

  x   *dv    =(x   +v   t   +a    t   /2)*d(v    +a    t   )    

   1     tx1    0    1   1    1    1        0     1   1

             =[x    +t   (v    +a    t    )+t    v    ]d(v    +a    t    )    

                0    1     0    1    1     1    0      0     1    1

             ≈t   +(x    +t    v    )/(v    +a    t    )

                 1     0    1    0      0     1    1

x位移对瞬时加速度a   的微分

                    tx1    

                                    2

  x   *da     =(x    +v   t   +a    t   /2)*da    =a   t

    1     tx1     0    0   1     1    1      1     1   1

因为该物体在第二阶段做的是平抛运动, 还讨论过质点作平抛运动，它的运动学方程为

            x    =v    t

              2     1     2        

                     2           }

               y   =H-gt    /2      

              2       2              

式中，v    是质点水平抛出的初速度，H是初始时刻质点矩原点的高度，

        1            

g是重力加速度，负号表示加速度g的方向与y轴的正方向相反。

x位移对时间的微分就等于物体的瞬时速度v   ,

                                     tx2

即              

v     =v    t   *dt    =v

  tx2    1    2          1    

x位移对时间的二阶微分就等于物体的瞬时加速度a

                                             tx2

即, a     =v    *dt   =0

     tx2    t2     2

x位移对瞬时速度v     的微分

                 tx2      

                                       2            

x    *dv      =(v    t    )*dv       =v    t     /2                

    2     tx2      1    2       1       1    2

x位移对瞬时加速度a     的微分

                    tx2

  x    *da     =(v    t    )*da   =0

    2       t2     1   1       2                                  

y位移对时间的微分就等于物体的瞬时速度v  

                                       ty2

即,                2                              

v    =(H-gt   /2)*dt   =-g        

  ty2              2

y位移对时间的二阶微分就等于物体的瞬时加速度a

                                             t2

即,

         a   =(-g)*dt   =0

           t2

y位移对瞬时速度v   的微分

                 t2    

                     2                            2   2

  y    *dv     =(H-gt   /2)*dv    =(H-gt   /2)*d(-g) =g   t    /4

    2      t2        2       t2       2                2

y位移对瞬时加速度a    的微分      

                    t2    

   y   *da    =0

     2     t2

在第三阶段，物体在空中作变加速直线运动, 变加速直线运动的运动方程如下

               2      3                                

x   =A+Bt   +Ct   +Dt

  3      3      3     3    

其中A、B、C、D是有不同量纲的常量，t是时间，求它的速度和加速度.

在第三阶段，物体在空中作变加速直线运动, 变加速直线运动的运动方程如下

              2    3                        

x   =A+Bt  +Ct  +Dt

  3       3    3   3

其中A、B、C、D是有不同量纲的常量，上式中A表示该物体的初始位置坐标,

上式中x   表示t   -t   时刻的位移，上式中v  表示t   -t    时刻的速度，

        3       2    3                     3      2    3

上式中a   表示t   -t    时刻的加速度，

        3       2    3              

上式中t   表示t   -t    时刻的总时间，在对x   关于时间t   求微分

        3       2    3                      3           3

                    2     3                   2        

  x   *dt=(A+Bt   +Ct   +Dt   )*dt =B+2Ct   +3Dt        

   1           3    3     3            3     3

x位移对时间的微分就等于物体的瞬时速度v      , 即

                                       tx3

a    =v    *dt   =a

           tx3    tx3   1    1

  x位移对瞬时速度v     的微分        

                    tx3

                      2    3                  2                          

x   *dv   =(A+Bt   +Ct   +Dt   )*d(B+2Ct   +3Dt   )

  3    tx3       3    3     3          3     3    

                      2            2    2     3                 2            

   =[A+Bt+(B+2Ct   +3Dt  )-B-2Ct  -3Dt  +Ct   +Dt   ]*d(B+2Ct   +3Dt  )    

                3     3       3    3    3     3          3      3

                          2      3                 2          

  ≈1+[A-B+(B-2C)t   +(C-3D)t   +Dt    ]/(B+2Ct   +3Dt    )

                3          3     3         3       3

x位移对瞬时加速度a   的微分  

                    tx3

                        2     3                                                        

x   *da   =(A+Bt   +Ct    +Dt   )*d(2Ct   +6Dt   )  

   3    tx3      3      3      3       3      3

                                       2          3                        

   =[A+Bt   +(2C+6Dt   )-2C-6Dt  +Ct  +Dt   ]/(2C+6Dt   )  

         3         3         3     3   3          3

                      2    3                              

≈1+[A-2C+(B-6D)t   +Ct   +Dt    ]/(2C+6Dt   )

                3     3    3           3

所以，物体在空中的位移x等于三个阶段位移关于瞬时速度的微分的和再关于时间做积分后乘上三段速度的和, 加上三个阶段位移关于瞬时加速度的微分的和再关于时间做二重积分后乘上三段加速度的和, 再加上初始位移, 即,

x=x    +

                    (x   *dv   +x   *dv   +x   *dv    )*dt

                  1    tx1   2    tx2   3     tx3                                                  

v *{[((y  *d  )*dg)*dg]*dt}/6+v  *{[((y  *d  )*dg)*dg]*dt}/6+v  *{[((y  *d  )*dg)*dg]*dt}/6

tx1   1   t1              tx2    2   t2               tx3    3   t3

+

                   (x   *dv   +x   *dv   +x   *dv    )*dt

                      1    tx1   2    tx2   3     tx3      

a  *{[((y  *d  )*dg)*dg]*dt}/6+a  *{[((y  *d  )*dg)*dg]*dt}/6+a *{[((y  *d  )*dg)*dg]*dt}/6

  tx1    1   t1               tx2    2   t2              tx3   3   t3

=x   +  

   0                                                                                                          

                                                     2    3      

[t  +(x  +t  v  )/(v  +a  t  )+v  t  +1+[A-2C+(B-6D)t  +Ct  +Dt  ]/(2C+6Dt  )]*dt

   1   0   1  0   0    1  1  1   2              3    3    3         3          

v *{[((y  *d  )*dg)*dg]*dt}/6+v  *{[((y  *d  )*dg)*dg]*dt}/6+v  *{[((y  *d  )*dg)*dg]*dt}/6

tx1   1   t1               tx2   2   t2               tx3    3   t3

+

                             2   3        

[a  t  +0+1+[A-2C+(B-6D)t   +Ct  +Dt  ]/(2C+6Dt  )]*dt

  1  1                 3     3   3          3                      

a  *{[((y  *d  )*dg)*dg]*dt}/6+a  *{[((y *d  )*dg)*dg]*dt}/6+a  *{[((y  *d  )*dg)*dg]*dt}/6

tx1     1  t1                tx2   2  t2               tx3    3   t3    

所以，物体在空中的位移y等于三个阶段位移关于瞬时速度的微分的和再关于时间做积分,    加上三个阶段位移关于瞬时加速度的微分的和再关于时间做二重积分,   再加上初始位移,  即,

y=y    +

    0

(y  *dv  +y  *dv  +y  *dv  )*dt                 (y  *da   +y   *da  +y  *da  )*dt

  1    tx1  2   tx2   3   tx3                      1   tx1   2    tx2   3   tx3        

                                     +

v    *{[((y   *d    )*dg)*dg]*dt}/6                            0

  ty2      2    t2

y=y    +

    0

(y  *dv  +y  *dv  +y  *dv  )*dt                 (y  *da   +y   *da  +y  *da  )*dt

  1    tx1   2   tx2  3    tx3                     1   tx1   2    tx2   3   tx3        

                                     +

         2    2                  

v   *{[((g    t    /4)*dg)*dg]*dt}/6                           0

  ty2          2  

             2  2                

        (0+g   t  /4+0)*dt                     (0+0+0)*dt  

                2      

=H +                            +      

             -gt/6                           0

          2          

  ≈H -g *t   /2                

          2

                                             2   2  

y   *dv   =(H-gt   /2)*dv   =(H-gt   /2)*d(-g) =g   t    /4

  2     t2      2       t2      2                2

           2                        

v   =(H-gt   /2)*dt   =-g    

  ty2              2

第四部分  

例1-4.已知质点的运动学方程是  

x=Rcoswt

y=Rsinwt                     （1）

其中R和w是两个常量。求速度和加速度。

解.此质点在XOY平面上运动，将式（1）两式的两侧分别求平方后相加，得

         2    2    2                

x   +y    =R             (2)

这是以原点为圆心，R为半径的圆方程。质点沿此圆轨道运动，式(2)称为此质点的轨道方程，质点的速度在直角坐标系的分量是

    v   =dx/dt=-Rw*sinwt

      x                              (3)

v   =dy/dt=Rw*coswt

  y

速度的大小

        2    2                      

v=    v    +v    =Rw               (4)

        x     y

所以,法向加速度

        2         2              

a    =v    /R=Rw          (5)

  n

而切向加速度

      a   =dv/dt=0        (6)

        r

例1-4b.已知质点的运动学方程是

x/a=coswt

y/b=sinwt            (1)

其中R和w是两个常量。求速度和加速度。

解.此质点在XOY平面上运动，将式（1）两式的两侧分别求平方后相加，得

           2   2      2     2                  

x   /a     +y    /b    =1           (2)

这是一个椭圆方程，它的两个焦点F1,F2之间的距离为2b, 椭圆上任意一点到F1,F2的距离和为2a(2a>2c), 设M(x,y)为椭圆上任意一点，根据椭圆定义知,

│MF1│+│MF2│=2a   (a>0)

即

           2    2             2     2                

(x+c)   +y   =2a-    (x-c)   +y

质点沿此椭圆轨道运动，式(2)称为此质点的轨道方程，质点的速度在直角坐标系的分量是

. v   =dx/dt=-aw*sinwt

   x                              (3)

v   =dy/dt=bw*coswt

   y

速度的大小

         2    2         2     2                              

  v=    v  +v   =w     a   +b                 (4)

所以,法向加速度

        2         2    2         2    2                          

a    =v    /     a   +b   =     a   +b    w         (5)

  n

而切向加速度

a   =dv/dt=0             (6)

   r

例2.求曲线

             x=a(t-sint)

             y=a(1-cost)            

(a>0)在t=π处的曲率                

解：因为x`=a(1-cost),x``=asint, y`=asint,y``=acost,

所以得曲率

         │x`y``-x``y`│

K(x)=              

            2      2    2/3        

      │(x`)    +(y`)    │

        1          1  

   =        *

       4a       │sin(t/2)│

t=π代入上式即可得所求的曲率为K=1/4a.

例1-4c.已知质点的运动学方程是

           x=a(t-sint)

           y=a(1-cost)      (1)

其中a和t是两个常量。求速度和加速度。                    

解.此质点在XOY平面上运动，将式（1）两式的两侧分别求平方后相加，得

  2   2    2        2    2        2                      

x   +y   =a   (t-sint)   +a   (1-cost)

  2    2     2    2          2             2                  

x   +y    =a    (t   -2tsint+sin   t+1-2cost+cos  t)

  2    2     2   2                                    

x   +y    =a   (t   -2tsint-2cost+2)

  2   2   2                      

R   =a   (t  -2tsint-2cost+2)

  2   2    2                        

R   =a   (t  -2tsint-2cost+2)

          2          

R=a     (t   -2tsint-2cost+2)                  (2)

这是以原点为圆心，    R为半径的螺旋线方程。     质点沿此螺旋线轨道运动，   式(2)称为此质点的轨道方程，  质点的速度在直角坐标系的分量是

v  =dx/dt=a-cost

  x        

                             (3)

v  =dy/dt=sint

  y                      

速度的大小

          2     2          2

v=      v    +v    =      a   -2acost+1

所以,法向加速度

                   2  

       2         a   -2acost+1

a   =v   /R=

  n                    2      

               a     (t   -2tsint-2cost+2)    

而切向加速度

a  =dv/dt=0               (6)

  r

例1-4d.已知质点的运动学方程是

x=Rcoswt=Qsinnt

y=Rsinwt=Pcosmt                   (1)

z=Psinmt=Qcosnt

如上图1所示，质点A在坐标系XYZ中的坐标是(x,y,z), 质点在平XOY上的投影是R,，OR的长度是R, OR和X轴的夹角的角度是wt，t代表时间，质点在平YOZ上的投影是P，OP的长度P, OP和Y轴的夹角的角度是mt,t代表时间, 质点在平XOZ上的投影是Q，OQ的长度Q, OQ和Z轴的夹角的角度是nt，t代表时间, 所以

x=Rcoswt=Qsinnt

y=Rsinwt=Pcosmt

z=Psinmt=Qcosnt

其中R、P、Q、w、m、n是六个常量。求速度和加速度。

解.此质点在XYZ空间上运动，将式（1）两式的两侧分别求平方后相加，得

  2     2     2    2    2    2                            

x    +y    +z   =R   +Q   +P              (2)

这是以原点为圆心，

  2    2    2                                            

R   +Q   +P    为半径的球面方程。质点沿此球面轨道运动，式(2)称为此质点的轨道方程，质点的速度在空间坐标系的分量是

v   =dx/dt=-Rw*sinwt=Qn*cosnt

      x                      

v   =dy/dt=Rw*coswt=-Pm*sinmt                  (3)

  y

v   =dz/dt=Pm*cosmt=-Qn*sinnt

  z

速度的大小,

     2    2    2                2                  2                  2

v=     v   +v   +v   =Rw+(Pm*cosmt)    =Qn+(-Pm*sinmt)    =Pm+(-Rw*sinwt)

或or

   2    2    2                2                  2                 2

v=   v   +v     +v   =Rw+(Qn*sinnt)    =Qn+(Rw*coswt)    =Pm+(Qn*cosntt)

所以,法向加速度

       2        

a   =v   /R=

  n

           2   2                   2   2                       2   2            

[Rw+(Pm*cosmt)   ]      [ Qn+(-Pm*sinmt)   ]          [Pm+(-Rw*sinwt)   ]      

                =                         =                  

2   2    2            2     2     2                2     2     2        

R   +Q   +P            R   +Q   +P                 R   +Q   +P

或

        2        

a   =v   /R=

  n

           2   2                   2   2                     2   2            

[Rw+(Qn*sinnt)    ]     [ Qn+(Rw*cosmt)    ]         [Pm+(Qn*cosnt)    ]    

                =                         =                  

2   2    2            2     2     2                2     2     2        

R   +Q   +P            R   +Q   +P                 R   +Q   +P

而切向加速度

     a   =dv/dt=0      (6)

       r

例1-4e.已知质点的运动学方程是

x/a=Rcoswt=Qsinnt

y/b=Rsinwt=Pcosmt              (1)

z/c=Psinmt=Qcosnt

如上图1所示，质点A在坐标系XYZ中的坐标是(x/a,y/b,z/c), 质点在平XOY上的投影是R,，OR的长度是R, OR和X轴的夹角的角度是wt，t代表时间，质点在平YOZ上的投影是P，OP的长度P, OP和Y轴的夹角的角度是mt,t代表时间, 质点在平XOZ上的投影是Q，OQ的长度Q, OQ和Z轴的夹角的角度是nt，t代表时间, 所以,

x/a=Rcoswt=Qsinnt

y/b=Rsinwt=Pcosmt

z/c=Psinmt=Qcosnt

这是一个x,y,z坐标轴可以伸缩的弯曲空间，伸缩度分别为a,b,c, 其中R、P、Q、w、m、n是六个常量。求速度和加速度。

解.此质点在XYZ空间上运动，将式（1）两式的两侧分别求平方后相加，得

2    2     2     2   2      2      2     2    2     2     2    2                                                                

x   +y    +z    =R   *a    cos  wt+R    *b   sin   wt+P   *c   sin   mt

或

  2    2    2      2    2    2      2    2    2      2   2     2                      

x   +y   +z     =Q   *a   sin   nt+P   *b   cos  mt+Q   *c   cos  nt

这是以原点为圆心，

          2     2    2      2     2    2      2    2    2                        

R   *a    cos   wt+R   *b   sin   wt+P   *c   sin  mt

为半径的椭圆球面方程。或

          2     2    2     2    2    2     2    2   2              

Q   *a   sin  nt+P   *b   cos  mt+Q   *c   cos  nt

为半径的椭圆球面方程。或

          2     2    2    2     2    2       2    2    2                          

R   *a   cos   wt+P   *b   cos   mt+P   *c   sin  mt

为半径的椭圆球面方程。或

          2     2    2     2    2    2       2    2    2              

R   *a    cos  wt+R   *b   sin   wt+Q   *c   cos  nt

     质点沿此椭圆球面轨道运动，式(2)称为此质点的轨道方程，质点的速度在空间坐标系的分量是

v   =dx/dt=-R*a*w*sinwt=Q*a*n*cosnt

  x                                      

v   =dy/dt=R*b*w*coswt=-P*b*m*sinmt           (3)

  y

v   =dz/dt=P*c*m*cosmt=-Q*c*n*sinnt

  z

速度的大小

       2  2   2                     2                2               2    

v=     v  +v  +v   =     (-R*a*w*sinwt)   +(R*b*w*coswt)   +(P*c*m*cosmt)   (4)

或

       2  2   2                     2                2               2    

v=    v  +v  +v   =      (Q*a*n*cosnt)    +(P*b*m*sinmt)   +(Q*c*n*sinnt)

所以,法向加速度

                             2                2               2        

       2       (-R*a*w*sinwt)    +(R*b*w*coswt)   +(P*c*m*cosmt)      

a   =v   /R=

  n                2   2    2      2    2   2       2   2    2                                      

R  *a   cos  wt+R   *b   sin  wt+P   *c   sin  mt

或

                             2                 2               2        

       2       (Q*a*n*cosnt)     +(P*b*m*sinmt)    +(Q*c*n*sinnt)    

a   =v   /R=

  n                2   2    2      2    2   2       2   2    2                                      

R  *a   cos  wt+R   *b   sin  wt+P   *c   sin   mt

求曲线

x/a=Rcoswt=Qsinnt

y/b=Rsinwt=Pcosmt                          (1)

z/c=Psinmt=Qcosnt

的曲率,

解：因为

x`=-aRwsinwt,x``=-aRwcoswt, y`=bRwcoswt,y``=-bRwsinwt, z`=cPmcosmt,z``=-cPmsinmt,

或者

x`=aQncosnt,x``=-aQnsinnt, y`=-bPmsinmt,y``=-bPmcosmt, z`=-cQnsinnt,z``=-cQncosnt,

所以得曲率

        │x`y``-x``y`+x`z``-x``z`+y`z``-y``z`│  

K(x)=

                2      2    2                        

           │(x`)   +(y`)  +(z`)  │          

│(-aRwsinwt)*(-bRwsinwt)-(-aRwcoswt)*(bRwcoswt)+(aRwsinwt)*(-cPmsinmt)-(-aRwcoswt)*(cPmcosmt)+(bRmcosmt)*(-cPmsinmt)-(-bRwsinwt)*(cPmcosmt)│

=

                     2             2             2          

│(-aRwsinwt)    +(bRwcoswt)   +(cPmcosmt)   │

或者

        │x`y``-x``y`+x`z``-x``z`+y`z``-y``z`│  

K(x)=

                2      2    2                        

           │(x`)   +(y`)  +(z`)  │      

│(aQncosnt)*(-bPmcosmt)-(aQnsinnt)*(-bPmsinmt)+(aQncosnt)*(-cQncosnt)-(-aQnsinnt)*(cQnsinnt)+(bPmsinmt)*(-cQncosnt)-(-bPmcosmt)*(cQnsinnt)│

=

                      2              2          2                                        

         │(aQncosnt)    +(-bPmsinmt)   +(-cQnsinnt)   │

而切向速度

v  =K(x)*dt=

r

│(-aRwsinwt)*(-bRwsinwt)-(-aRwcoswt)*(bRwcoswt)+(aRwsinwt)*(-cPmsinmt)-(-aRwcoswt)*(cPmcosmt)+(bRmcosmt)*(-cPmsinmt)-(-bRwsinwt)*(cPmcosmt)│

                          2            2            2

│(-aRwsinwt)   +(bRwcoswt)   +(cPmcosmt)  │

或者

v  =K(x)*dt=

r

│(aQncosnt)*(-bPmcosmt)-(aQnsinnt)*(-bPmsinmt)+(aQncosnt)*(-cQncosnt)-(-aQnsinnt)*(cQnsinnt)+(bPmsinmt)*(-cQncosnt)-(-bPmcosmt)*(cQnsinnt)│

                         2             2            2          

│(aQncosnt)   +(-bPmsinmt)   +(-cQnsinnt)  │

例1-4e.已知质点的运动学方程是

x=R(t-coswt)

y=R(1-sinwt)                             (1)

z=P(t-sinmt)

或

x=Q(t-sinnt)

y=P(1-cosmt)                    

z=Q(t-cosnt)

如上图1所示，质点A在坐标系XYZ中的坐标是(x/a,y/b,z/c), 质点在平XOY上的投影是R,，OR的长度是R, OR和X轴的夹角的角度是wt，t代表时间，质点在平YOZ上的投影是P，OP的长度P, OP和Y轴的夹角的角度是mt,t代表时间, 质点在平XOZ上的投影是Q，OQ的长度Q, OQ和Z轴的夹角的角度是nt，t代表时间, 所以

x=R(t-coswt)

y=R(1-sinwt)

z=P(t-sinmt)

或

x=Q(t-sinnt)

y=P(1-cosmt)

z=Q(t-cosnt)

其中R、P、Q、w、m、n是六个常量。求速度和加速度。

解.此质点在XYZ空间上运动，将式（1）两式的两侧分别求平方后相加，得

   2   2   2    2        2     2         2    2         2                                          

x   +y   +z   =R  (t-coswt)   +R   (1-sinwt)    +P  (t-sinmt)         (2)

或

  2   2     2    2       2     2          2    2         2        

x   +y   +z   =Q  (t-sinnt)    +P   (1-cosmt)   +Q   (1-cosnt)

这是以原点为圆心，

      2         2    2         2    2        2                  

R   (t-coswt)   +R   (1-sinwt)   +P   (t-sinmt)

或

这是以原点为圆心，

      2         2    2         2    2        2                  

Q   (t-sinnt)   +P   (1-cosmt)  +Q   (1-cosnt)

质点沿此螺旋曲面轨道运动，式(2)称为此质点的轨道方程，质点的速度在空间坐标系的分量是

v   =dx/dt=R+Rw*sinwt

  x                      

v   =dy/dt=-R*w*coswt                  (3)

  y

v   =dz/dt=P+Pm*cosmt

  z

或

v   =dx/dt=Q-Qn*cosnt

  x                      

v    =dy/dt=Pm*sinmt                 (3)

  y

v    =dz/dt=Q+Qn*sinnt

  z

速度的大小

  2    2   2                    2               2                 2            

v=     v   +v   +v    =   (R+R*w*sinwt)    +(-R*w*coswt)    +(P+P*m*cosmt)     (4)

或

  2   2   2                    2               2                 2            

v=    v  +v   +v    =    (Q-Q*n*cosnt)     +(P*m*sinmt)    +(Q+Q*n*sinnt)

所以,法向加速度

                              2             2                2  

       2        (R+R*w*sinwt)   +(-R*w*coswt)   +(P+P*m*cosmt)              

a   =v   /R=

  n                2         2    2         2     2        2                        

                 R   (t-coswt)   +R   (1-sinwt)   +P   (t-sinmt)

或

                              2             2                2  

       2        (Q-Q*n*cosnt)   +(P*m*sinmt)    +(Q+Q*n*sinnt)          

a   =v   /R=

  n                2         2     2         2     2        2                        

                 Q   (t-sinnt)    +P   (1-cosmt)   +Q   (1-cosnt)

而切向加速度

a   =dv/dt=0               (6)

  r

第五部分四维空间运动方程

例1-4d.已知质点的运动学方程是

x=Rcoswt=Ksinut

y=Rsinwt=Pcosmt

         z=Psinmt=Qcosnt                         (1)

         j=Qsinnt=Kcosut        

                           Z  

          J

                                质点A(x,y,z,j)

                        O                  Y

                  X

如上图1所示，质点A在坐标系XYZJ中的坐标是(x,y,z,j), 质点在平XOY上的投影是R,，OR的长度是R, OR和X轴的夹角的角度是wt，t代表时间，质点在平YOZ上的投影是P，OP的长度P, OP和Y轴的夹角的角度是mt,t代表时间, 质点在平ZOJ上的投影是Q，OQ的长度Q, OQ和Z轴的夹角的角度是nt，t代表时间, 质点在平JOX上的投影是K，OK的长度K, OK和J轴的夹角的角度是ut，t代表时间, 所以,

x=Rcoswt=Ksinut

y=Rsinwt=Pcosmt

         z=Psinmt=Qcosnt                        

         j=Qsinnt=Kcosut  

其中R、P、Q、K、w、m、n、u是八个常量。求速度和加速度。解.此质点在XYZJ空间上运动，将式（1）两式的两侧分别求平方后相加，得

         2   2    2    2     2    2    2    2                  

x   +y   +z   +j    =R   +Q   +P   +K             (2)

这是以原点为圆心，

       2     2    2    2                                      

R    +Q   +P   +K     为半径的球面方程。质点沿此球面轨道运动，式(2)称为此质点的轨道方程，质点的速度在空间坐标系的分量是,

v   =dx/dt=-Rw*sinwt=Ku*cosut

  x

v   =dy/dt=Rw*coswt=-Pm*sinmt

  y                            

v   =dz/dt=Pm*cosmt=-Qn*sinnt                        (3)

  z

v   =dz/dt=Qn*cosnt=-Ku*sinut

  j

速度的大小

        2  2   2   2                 2            2

v=    v  +v  +v  +v   =Rw+(Pm*cosmt)   +(Qn*cosnt)  

       x    y   z   j                                

                                2            2                 2             2  

=Ku+(-Pm*sinmt)   +(-Qn*sinnt)    =Pm+(-Rw*sinwt)   +(Qu*cosut)

或

        2  2   2   2                 2            2

v=    v  +v  +v  +v   =Rw+(Pm*cosmt)    +(-Ku*sinut)      

       x    y   z   j                                

                                   2            2               2             2  

=Ku+(-Rw*coswt)   +(-Qn*sinnt)    =Pm+(Ku*cosut)   +(Qu*cosut)

所以,法向加速度

                               2            2        

       2       [Rw+(Pm*cosmt)    +(Qn*cosnt)    ]        

a   =v   /R=

  n                2     2    2    2                        

                 R   +Q   +P   +K

                               2           2        

                [Pm+(-Rw*sinwt)   +Qu*cosut   ]        

=

                   2     2    2    2                        

                 R   +Q   +P   +K

或

                              2            2        

       2      [Rw+(Pm*cosmt)    +(-Ku*sinut)    ]        

a   =v   /R=

  n                2     2    2    2                        

                 R   +Q   +P   +K

                               2           2        

                [Ku+(-Rw*coswt)   +(-Qn*sinnt)   ]        

=

                   2     2    2    2                        

                 R   +Q   +P   +K

而切向加速度

a   =dv/dt=0             (6)

  r

例1-4e.已知质点的运动学方程是

x/a=Rcoswt=Ksinut

y/b=Rsinwt=Pcosmt

z/c=Psinmt=Qcosnt              (1)

j/d=Qsinnt=Kcosut

                         Z

                           P    

                  nt               质点A(x/a,y/b,z/c,j/d)

                 Q       mt                 Y

                    wt O    

   X

如上图1所示，质点A在坐标系XYZJ中的坐标是(x,y,z,j), 质点在平XOY上的投影是R,，OR的长度是R, OR和X轴的夹角的角度是wt，t代表时间，质点在平YOZ上的投影是P，OP的长度P, OP和Y轴的夹角的角度是mt,t代表时间, 质点在平ZOJ上的投影是Q，OQ的长度Q, OQ和Z轴的夹角的角度是nt，t代表时间, 质点在平JOX上的投影是K，OK的长度K, OK和J轴的夹角的角度是ut，t代表时间, 所以,

x/a=Rcoswt=Ksinut

y/b=Rsinwt=Pcosmt

z/c=Psinmt=Qcosnt            

j/d=Qsinnt=Kcosut

这是一个x,y,z,j坐标轴可以伸缩的弯曲空间，伸缩度分别为a,b,c,d, 其中R、P、Q、K、w、m、n、u是八个常量。求速度和加速度。

解.此质点在XYZJ空间上运动，将式（1）两式的两侧分别求平方后相加，得

  2    2   2   2   2    2     2   2   2     2   2   2      2   2   2                                                                                

x   +y   +z  =R  *a  cos  wt+R  *b  sin  wt+P  *c  sin  mt+Q  *d  sin  nt   (2)

或

  2  2    2   2   2   2     2    2    2      2   2   2    2    2   2                                  

x  +y   +z  =Q  *a  sin  nt+P  *b   cos  mt+Q  *c  cos  nt+K  *d  cos  ut  

这是以原点为圆心，

         2    2    2     2    2    2     2   2   2     2    2    2                            

R   *a   cos  wt+R   *b  sin  wt+P  *c  sin  mt+Q  *d   sin  nt

为半径的椭圆球面方程。或

         2    2    2     2    2    2     2    2   2     2    2   2                            

Q  *a   sin   nt+P   *b   cos  mt+Q   *c  cos  nt+K  *d  cos  ut

为半径的椭圆球面方程。或

         2    2    2     2    2    2     2    2   2     2    2   2                            

R   *a   cos  wt+P   *b   cos  mt+P   *c   sin  mt+Q  *d  sin  nt

为半径的椭圆球面方程。或

         2    2    2     2    2    2     2    2   2     2    2   2                            

R   *a  cos  wt+R  *b   sin  wt+P  *c   sin  mt+K   *d  cos   ut

质点沿此椭圆球面轨道运动，式(2)称为此质点的轨道方程，质点的速度在空间坐标系的分量是

v  =dx/dt=-R*a*w*sinwt=Q*a*n*cosnt

  x

v  =dy/dt=R*b*w*coswt=-P*b*m*sinmt

  y

v  =dz/dt=P*c*m*cosmt=-Q*c*n*sinnt

  z

v  =dj/dt=Q*d*n*cosnt=-K*d*u*sinut

  j

速度的大小

  2  2   2   2                        

v=    v  +v  +v  +v  

       x   y   z    j

                        2               2               2               2

=    (-R*a*w*sinwt)   +(R*b*w*coswt)   +(P*c*m*cosmt)   +(Q*d*n*cosnt)

或

速度的大小

  2  2   2   2                        

v=    v  +v  +v  +v  

       x   y   z    j

                        2               2             2               2

=    (Q*a*n*cosnt)   +(P*b*m*sinmt)   +(Q*c*n*sinnt)   +K*d*u*sinut

所以,法向加速度

      2                

a  =v  /R=                        

  n          

             2                2               2               2                                                                                        

(-R*a*w*sinwt)   +(R*b*w*coswt)   +(P*c*m*cosmt)   +(Q*d*n*cosnt)

   2   2    2     2   2   2     2   2    2      2   2   2                                        

  R  *a  cos  wt+R  *b  sin  wt+P  *c  sin  mt+Q  *d  sin  nt                  

或

      2                

a  =v  /R=                        

  n          

             2                2             2               2                                                                                        

(Q*a*n*cosnt)   +(P*b*m*sinmt)   +(Q*c*n*sinnt)   +(K*d*u*sinut)

   2   2    2     2   2   2     2   2    2      2   2   2                                        

  R  *a  cos  wt+R *b  sin  wt+P  *c   sin  mt+Q   *d   sin  nt              

求曲线

x/a=Rcoswt=Ksinut

y/b=Rsinwt=Pcosmt                   (1)

z/c=Psinmt=Qcosnt

j/d=Qsinnt=Kcosut                                    

的曲率

解：因为

x`=-aRwsinwt,x``=-aRwcoswt, y`=bRwcoswt,y``=-bRwsinwt, z`=cPmcosmt,z``=-cPmsinmt, j`=dQncosnt,j``=-dQnsinnt

或者

x`=aQncosnt,x``=-aQnsinnt, y`=-bPmsinmt,y``=-bPmcosmt, z`=-cQnsinnt,z``=-cQncosnt, j`=-dKusinut,j``=-dKucosut,

所以得曲率

      │x`y``-x``y`+x`z``-x``z`+y`z``-y``z`+x`j``-x``j`+y`j``-y``j`+z`j``-z``j`│

K(x)=

                   2     2      2     2  2                                    

             │(x`)   +(y`)   +(z`)   +(j`)  │

      │(-aRwsinwt)*(-bRwsinwt)-(-aRwcoswt)*(bRwcoswt)+(aRwsinwt)*(-cPmsinmt)-(-aRwcoswt)*(cPmcosmt)+(bRmcosmt)*(-cPmsinmt)-(-bRwsinwt)*(cPmcosmt)+(aRwsinwt)*(-dQnsint)-(-aRwcoswt)*(dQncosnt)+(bRwcoswt)*(dQnsint)-(-bRwsinwt)*(dQncosnt)+(cPmcosmt)*(-dQnsint)-(cPmsinmt)*(dQncosnt)│

                   2     2      2     2  2                                    

             │(x`)   +(y`)   +(z`)   +(j`)  │

或者

      │x`y``-x``y`+x`z``-x``z`+y`z``-y``z`+x`j``-x``j`+y`j``-y``j`+z`j``-z``j`│

K(x)=

                   2     2      2     2  2                                    

             │(x`)   +(y`)   +(z`)   +(j`)  │

     │(aQncosnt)*(-bPmcosmt)-(aQnsinnt)*(-bPmsinmt)+(aQncosnt)*(-cQncosnt)-(-aQnsinnt)*(cQnsinnt)+(bPmsinmt)*(-cQncosnt)-(-bPmcosmt)*(cQnsinnt)+(aQncosnt)*(dKucosut)-(-aQnsinnt)*(-dKusinut)+(-bPmsinmt)*(-dKucosut)-(-bPmcosmt)*(-dKusinut)+(-cQnsinnt)*(-dKucosut)-(-cQncosnt)*(-dKusinut)│

                   2     2      2     2  2                                    

             │(x`)   +(y`)   +(z`)   +(j`)  │

而切向速度

v   =K(x)*dt=

  r

      │(-aRwsinwt)*(-bRwsinwt)-(-aRwcoswt)*(bRwcoswt)+(aRwsinwt)*(-cPmsinmt)-(-aRwcoswt)*(cPmcosmt)+(bRmcosmt)*(-cPmsinmt)-(-bRwsinwt)*(cPmcosmt)+(aRwsinwt)*(-dQnsint)-(-aRwcoswt)*(dQncosnt)+(bRwcoswt)*(dQnsint)-(-bRwsinwt)*(dQncosnt)+(cPmcosmt)*(-dQnsint)-(cPmsinmt)*(dQncosnt)│

                                                                            *dt

                   2     2      2     2  2                                    

             │(x`)   +(y`)   +(z`)   +(j`)  │

或者

v   =K(x)*dt=

  r

     │(aQncosnt)*(-bPmcosmt)-(aQnsinnt)*(-bPmsinmt)+(aQncosnt)*(-cQncosnt)-(-aQnsinnt)*(cQnsinnt)+(bPmsinmt)*(-cQncosnt)-(-bPmcosmt)*(cQnsinnt)+(aQncosnt)*(dKucosut)-(-aQnsinnt)*(-dKusinut)+(-bPmsinmt)*(-dKucosut)-(-bPmcosmt)*(-dKusinut)+(-cQnsinnt)*(-dKucosut)-(-cQncosnt)*(-dKusinut)│

                                                                           *dt

                   2     2      2     2  2                                    

             │(x`)   +(y`)   +(z`)   +(j`)  │

例1-4e.已知质点的运动学方程是

x=R(t-coswt)

y=R(1-sinwt)                (1)

z=P(t-sinmt)

j=Q(1-sinnt)

或

x=Q(t-sinnt)

y=P(1-cosmt)

z=Q(t-cosnt)

j=K(1-cosut)

                         Z

                           P    

                  nt               质点A(x/a,y/b,z/c,j/d)

                 Q       mt                 Y

                    wt O    

   X

如上图1所示，质点A在坐标系XYZJ中的坐标是(x,y,z,j), 质点在平XOY上的投影是R,，OR的长度是R, OR和X轴的夹角的角度是wt，t代表时间，质点在平YOZ上的投影是P，OP的长度P, OP和Y轴的夹角的角度是mt,t代表时间, 质点在平ZOJ上的投影是Q，OQ的长度Q, OQ和Z轴的夹角的角度是nt，t代表时间, 质点在平JOX上的投影是K，OK的长度K, OK和J轴的夹角的角度是ut，t代表时间,

x=R(t-coswt)

y=R(1-sinwt)                (1)

z=P(t-sinmt)

j=Q(1-sinnt)

或

x=Q(t-sinnt)

y=P(1-cosmt)

z=Q(t-cosnt)

j=K(1-cosut)

其中R、P、Q、K、w、m、n、u是八个常量。求速度和加速度。

解.此质点在XYZJ空间上运动，将式（1）两式的两侧分别求平方后相加，得

  2  2   2    2        2   2        2     2         2    2         2                        

x  +y  +z   =R  (t-coswt)  +R  (1-sinwt)   +P   (t-sinmt)   +Q   (1-sinnt)

或

2   2   2   2        2   2          2    2         2   2          2                      

x  +y  +z  =Q  (t-sinnt)  +P   (1-cosmt)   +Q   (1-cosnt)  +K   (1-cosut)

这是以原点为圆心，

          2         2    2         2    2        2     2        2    

R   (t-coswt)   +R   (1-sinwt)  +P   (t-sinmt)   +Q   (1-sinnt)

或

          2         2    2         2    2        2     2        2    

Q  (t-sinnt)  +P    (1-cosmt)  +Q   (1-cosnt)   +K    (1-cosut)

质点沿此螺旋曲面轨道运动，式(2)称为此质点的轨道方程，质点的速度在空间坐标系的分量是

v   =dx/dt=R+Rw*sinwt

  x

v   =dy/dt=-R*w*coswt                         (3)

  y

v   =dz/dt=P+Pm*cosmt

  z

v   =dj/dt=-Qn*cosnt

  j

或

v    =dx/dt=Q-Qn*cosnt

  x

v    =dy/dt=Pm*sinmt                         (3)

  y

v    =dz/dt=Q+Qn*sinnt

  z

v    =dj/dt=Ku*sinut

  j

速度的大小

         2    2    2    2              

v=     v   +v   +v   +v  

         x    y   z     j                                      

                  2             2                 2             2                                          

=     (R+R*w*sinwt)  +(-R*w*coswt)   +(P+P*m*cosmt)   +(-Qn*cosnt)       (4)

或

         2    2    2    2              

v=     v   +v   +v   +v  

         x    y   z     j                                      

                  2             2                 2             2                                          

=     (Q-Q*n*cosnt)   +(P*m*sinmt)   +(Q+Q*n*sinnt)    +(Ku*sinut)

所以,法向加速度

       2                            

a   =v   /R=

  n

                    2              2                2             2          

(R+R*w*sinwt)   +(-R*w*coswt)   +(P+P*m*cosmt)   +(-Qn*cosnt)

       2        2    2       2    2        2     2        2                

R  (t-coswt)  +R  (1-sinwt)  +P  (t-sinmt)   +Q   (1-sinnt)

或

       2                            

a   =v   /R=

  n

                          2             2                2          2  

(Q-Q*n*cosnt)   +(P*m*sinmt)   +(Q+Q*n*sinnt)   +(Ku*sinut)

       2        2    2       2    2        2     2        2                

R  (t-coswt)  +R  (1-sinwt)  +P  (t-sinmt)   +Q   (1-sinnt)

而切向加速度

a   =dv/dt=0    (6)

  r

推导过程可参见1992年版《物理学》，李廼伯主编，高等教育出版社出版

例1-5，如图1-8所示，质量为m的小球，系于长为l的轻绳的一端。绳的另一端固定于O点，小球可绕O点在铅垂面内作圆周运动。当小球运动到绳与垂线夹角为θ时，它的速率为v，

求：（1）这个位置处小球的切向加速度和法向加速度；（2）此时绳中的张力。

解，将小球从整个系统中“隔离”出来，分析它所受的作用力有：重力G和绳的拉力T。将它们分解为切向分量和法向分量，并按式（1-20a)和（1-20b）写出牛顿第二定律的分量式,

-mgsinθ=ma             (1)

           r        

T-mgcosθ=ma            (2)

           n    

球的法向加速度,

                       2  

a   =v  /l               (3)

  n

从式（1）解出球的切向加速度,

a   =-gsinθ         (4)

  r

从式（2）和式（3）解出绳对球的拉力

                       O            

                          θ      

               T        

                                         V

                      θ      

mgsinθ

              mgcosθ

       G

图1-8隔离出小球，分析其受力,

             2                

T=mv   /l+mgcosθ             (5)

式（5）中的T也等于绳中的张力。

例1-5a，如图1-8所示，质量为m的小球，系于长为l的轻绳的一端。绳的另一端固定于O点，小球可绕O点在铅垂面内作圆周运动。当小球运动到绳与垂线夹角为θ时，它的速率为v，绳的长度不断伸长，它的长度可以用下面的公式表示

                         2                

l=a+bt+ct

求：（1）这个位置处小球的切向加速度和法向加速度；（2）此时绳中的张力。

解，将小球从整个系统中“隔离”出来，分析它所受的作用力有：重力G和绳的拉力T。将它们分解为切向分量和法向分量，并按式（1-20a)和（1-20b）写出牛顿第二定律的分量式

-mgsinθ=ma ,                    (1)

T-mgcosθ=ma                       (2)

球的法向加速度

     2                        

a  =v  /l

  n

     2                        

a  =v   /(a+bt+ct    )             (3)

  n

从式（1）解出球的切向加速度

a  =-gsinθ                    (4)  

  r

从式（2）和式（3）解出绳对球的拉力,

                       O            

                          θ      

               T        

                                         V

                      θ      

mgsinθ

              mgcosθ

       G

图1-8隔离出小球，分析其受力,

     2        

T=mv  /l+mgcosθ

     2         2            

T=mv   /(a+bt+ct  )+mgcosθ            (5)

式（5）中的T也等于绳中的张力。

例1-5b，如图1-8所示，质量为m的小球，绕O点做圆周运动, 圆周运动的半径是l, 当小球运动到其和中心连线与垂线夹角为θ时，它的速率为v，

求：（1）这个位置处小球的切向加速度和法向加速度；（2）此时小球所受中的向心力。

解，将小球从整个系统中“隔离”出来，分析它所受的作用力有：重力G和向心力T。将它们分解为切向分量和法向分量，并按式（1-20a)和（1-20b）写出牛顿第二定律的分量式

-mgsinθ=ma             (1)

           r      

mgcosθ=ma             (2)

          n      

球的法向加速度

       2                

a   =v   /l             (3)

  n

从式（1）解出球的切向加速度

a   =-gsinθ            (4)

  r

从式（2）和式（3）解出向心力

                       O            

                          θ      

                                         V

               F       θ      

mgsinθ

              mgcosθ

       G

图1-8隔离出小球，分析其受力,

    2                        

mv   /l=mgcosθ                 (5)

v=    lgcosθ

做圆周运动的小球所受的加速度为a,受到的动力为F

a=vdt=    lgcosθ    dt

F=ma=m   lgcosθ   dt

例1-5c，如图1-8所示，质量为m的小球，在三维空间, 绕O点做圆周运动, 圆周运动的半径是l, 当小球运动到其和中心连线与垂线夹角为θ时，它的速率为v，求：（1）这个位置处小球的切向加速度和法向加速度；（2）此时小球所受中的向心力。

解，将小球从整个系统中“隔离”出来，在XOY平面上, 分析它所受的作用力有：重力G和向心力T。将它们分解为切向分量和法向分量，并按式（1-20a)和（1-20b）写出牛顿第二定律的分量式,

-mgsinθ    =ma              (1)

        1       r1

mgcosθ   =ma             (2)

        1     n1                

球的法向加速度

       2                            

a   =v   /l                    (3)

  n1   1

从式（1）解出球的切向加速度

a  =-gsinθ                   (4)

  r1     1

从式（2）和式（3）解出向心力

                       O            

                          θ1      

                                         V1

               F1       θ1      

mgsinθ1

              mgcosθ1

       G

图1-8隔离出小球，分析其受力,

   2                    

mv   /l=mgcosθ              (5)

   1          1

  v   =     lgcosθ                

    1             1

做圆周运动的小球所受的加速度为a,受到的动力为F

                                               1

a   =v   dt=    lgcosθ   dt

  1    1             1

F   =ma  =m   lgcosθ     dt

  1    1             1

在YOZ平面上, 分析它所受的作用力有：重力G和向心力T。将它们分解为切向分量和法向分量，并按式（1-20a)和（1-20b）写出牛顿第二定律的分量式,

-mgsinθ   =ma                    (1)

       2     r2

mgcosθ   =ma                (2)

        2     n2

球的法向加速度

       2                    

a   =v   /l                    (3)

  n2   2

从式（1）解出球的切向加速度,

a  =-gsinθ             (4)

  r2       2

从式（2）和式（3）解出向心力

                       O            

                          θ2    

                                         V2

               F2       θ2      

mgsinθ2

              mgcosθ2

       G

图1-8隔离出小球，分析其受力,

   2                    

mv   /l=mgcosθ              (5)

   2          2

  v   =     lgcosθ                

    2             2

做圆周运动的小球所受的加速度为a,受到的动力为F

                                               2

a   =v   dt=    lgcosθ   dt

  2    2             2

F   =ma  =m   lgcosθ     dt

  2    2             2

在YOZ平面上, 分析它所受的作用力有：重力G和向心力T。将它们分解为切向分量和法向分量，并按式（1-20a)和（1-20b）写出牛顿第二定律的分量式,

-mgsinθ   =ma                    (1)

       3     r3

mgcosθ   =ma                (2)

        3     n3

球的法向加速度

       2                    

a   =v   /l                    (3)

  n3   3

从式（1）解出球的切向加速度,

a  =-gsinθ             (4)

  r3       3

从式（2）和式（3）解出向心力

                       O            

                          θ3    

                                         V3

               F3       θ3      

mgsinθ3

              mgcosθ3

       G

图1-8隔离出小球，分析其受力,

   2                    

mv   /l=mgcosθ              (5)

   3          3

  v   =     lgcosθ                

    3             3

做圆周运动的小球所受的加速度为a,受到的动力为F

                                               3

a   =v   dt=    lgcosθ   dt

  3    3             3

F   =ma  =m   lgcosθ     dt

  3    3             3

由于XYZ空间是内积空间，所以小球所受的速度

  2     2    2   2                        

v    =v   +v   +v

        1    2    3

             2     2    2                        

v    =      v   +v   +v

              1    2    3

v    =     lgcosθ   +lgcosθ   +lgcosθ

                 1       2         3

小球所受的加速度

a    =     lgcosθ   +lgcosθ   +lgcosθ    *dt

                 1       2         3

小球所受的动力

F   =m*     lgcosθ   +lgcosθ   +lgcosθ    *dt

                 1       2         3

例1-6，质量为m的质点以速度v    沿仰角α的方向射出。

                               0        

在运动过程中，质点只受重力作用，忽略空气阻力，求此质点的运动学方程。

                 Y            

                       v        

                      α                             X          

                 O

                       G

                   图1-9，质点以速度v   斜向抛出    

                                      0

解。如图1-9所示，以质点出射位置为坐标原点，水平向右为OX轴的正方向，垂直向上为OY轴的正方向。在质点运动的整个过程中，它只受重力G作用，在此坐标系中，重力G=-mgj, 它的分量式为

         G   =0           (1a)

           x          

        G   =-mg        (1b)

          y

相应的牛顿第二定律的分量式为

0=ma   =mdv  /dt         (2a)

      x      x

-mg=ma   =mdv   /dt    (2b)

       y       y

由式（2a)得

          dv  =0

            x    

对上式积分

             v  =C

               x   1

式中C   是积分常数，它指出，此质点运动时，其水平速度分量v  不变。

       1                                                   x

用初始条件：t=0时，v   (0)=v   cosα可得C   =v   cosα,所以

                     x       0           1    0

         v   =v   cosα         (3a)

           x    0

  因为v  =dx/dt,所以,上式可写为      

        x

dx=v   cosαdt

                 0

将上式两边积分，得

x=v   cosαdt+C

    0         2

   式中的C   是积分常数。用初始条件：t=0时，x(0)=0,可得C  =0，于是          

            2                                            2

  x=v  cosαt       (4a)

      0

由式（2b）,

                   dv  =-gdt          

                      y

将上式两边积分，得

                   v  =-gt+C

                     y      3

用初始条件：t=0时，v  (0)=v  sinα, 可确定C  =v  sinα,所以

                     y     0               3  0

                   v   =v  sinα-gt             (3b)

                     y    0

因为v   =dy/dt,所以，上式可写成

      y

dy=(v  sinα-gt)dt

     0

将上式两边积分，得

                             2      

                y=v   sinαt-gt   /2+C    

                    0               4

用初始条件：t=0时，y(0)=0,可确定C   =0,所以

                                  4

                          2        

y=v  sinαt-gt  /2           (4b)

                  0

将式（4a)和（4b)写在一起

          x=v   cosαt

              0             }

                     2

          y=v  sinαt-gt   /2

              0

这就是该质点的运动学方程