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中国面包师贴吧-楼主(阅：1790/回：0)由粒子加速器产生的反中子形成的白洞3第八部分 割圆法微积分 如图1所示，直线y=k,(k∈R),是平面XOY上平行于X轴的一条直线， 直线y=k,(k∈R),是平面XOY上平行于X轴的一条直线，直线y=s,(s∈R),是平面XOY上平行于X轴的一条直线，直线y=t,(t∈R),是平面XOY上平行于X轴的一条直线，总共有无数条这样的直线，将平面XOY分割成无数条直线。换句话说，无数条平行的直线就组成了一个平面XOY。 函数y=f(x)是平面XOY上面的一条曲线，点A,B,C分别是y=f(x)和直线y=t,y=s,y=k的交点。作BD⊥OD,BE⊥AE,E是直线y=t上一点，E是直线BD上一点。, 作CF⊥OF,CG⊥BG,G是直线y=s上一点，G是直线CF上一点。 AB=a,BC=b,∠BAE=α，∠CBG=β，AE=BG=1, 根据上图的几何关系可知，sinα-sinβ=-m*y*(a-b)， 当β=90°，sinβ=1,b=2， 所以，sinα-1=-m*y*(a-2)，sinα=-m*y*(a-2)+1， 上式中，m=1.3，或， 3 2 m=0.33α +0.5α +α+1 根据上图的几何关系可知 cosα-cosβ=-n*y*(a-b)， 当β=90°，cosβ=0,b=2， 所以，cosα-0=-n*y*(a-2)，cosα=-n*y*(a-2)， 上式中，n=0.6，或 3 2 m=0.33α +0.5α +α+1 所以，tgα=sinα/cosα， 因为，sinα=-m(a-2)+1，cosα=-n(a-2)， 所以， -m*y*(a-2)+1 m*y*(a-2)-1 tgα=sinα/cosα= = -n*y*(a-2) n*y*(a-2) 一个函数y=f(x)的导数等于函数图像某点切线的斜率tgα=y`=f`(x) -m*y*(a-2)+1 m*y*(a-2)-1 y`= = -n*y*(a-2) n*y*(a-2) 如图2所示，在1/4圆弧中，AO=BO=1,AB=√2, AB = π/2, θ= π/2, 设弧上的单位弦长为γ，则γ=θk/√2= πk/2√2, 上式中，k=1.1, 或. 3 2 k=0.33α +0.5α +α+1 所以, a= πwy/2√2, 上式中，w=1.1, 或. 3 2 w=0.33α +0.5α +α+1 所以, tgα=y`=f`(x), -m*y*(a-2)+1 m*y*(a-2)-1 m*y*(πwy/2√2-2)-1 y`= = = -n*y*(a-2) n*y*(a-2) n*y*(πwy/2√2-2) 这样就得到一个通过原函数计算导数的公式。 如图3所示, tgα=BE, 在三角形AEB中，根据勾股定理，, 2 2 2 BE +AE =AB 因为, AE=1,AB=a,tgα=BE, 所以, 2 2 tg α+1=a 2 y`+1=a 因为, a= πwy/2√2, 上式中，w=1.1, 或 3 2 w=0.33α +0.5α +α+1 所以, y`+1 = πway/2√2 y=2√2 (y`+1)/πw 这样就得到一个通过导数计算积分的公式。即 B ∫y`dx=2√2 (y`+1)/πwa A 上式表示从A点到B点的定积分等于 B ∫y`dx=2√2 (y`+1)/πwa A 同理可证： C ∫y`dx=2√2 (y`+1)/πwa B 根据黎曼积分相关性质，得 C B C ∫y`dx=∫y`dx+∫y`dx A A B 上式表示从A点到C点的定积分等于从A点到B点的定积分加上从B点到C点的定积分 所以, C ∫y`dx=2√2 (y`+1)/πwa+2√2 (y`+1)/πwb A 上式中，w=1.1, 或 3 2 w=0.33α +0.5α +α+1 所以, y=πwc/2√2 例如, 推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译, 例27.求, 2 1 2 2 ∫ 3x +2 dx= ∫ (√3x) +(√2) d((√3x) √3 2 1 √3x 2 2 (√2) 2 2 = [ (√3x) +(√2) + ln│√3x+ (√3x) +(√2) │+C √3 2 2 1 2 1 2 2 = (√3x) +(√2) + ln│√3x+ (√3x) +(√2) │ +C 2 √3 2 2 2 ∫ 3x +2 dx=2√2 (y`+1)/πwa 2 =2√2 ( 3x +2 +1)/πwa 例如 2 ∫dx/ 1-x =arc sinx+C 6.14 2 ∫dx/ 1-x =2√2 (y`+1)/πwa =2√2 ( 1/1-x +1)/ πwa 如图4所示, 函数y=f(x)是平面XOY上面的一条曲线，点Q,M,N分别是y=f(x)和直线y=t,y=s,y=k的交点。NN`⊥ON`,MM`⊥OM`,NN``⊥ON``,MM``⊥OM``,NN`⊥MM`,垂足是P, MP=a,NP=b,∠MON=α，MN=c，MM``=s,ON``=k, MO=d,NO=e,M``N`=1,ON``=k,M``O=2,NN``=1, 在直角三角形MM``N`中，根据勾股定理 2 2 2 MM`` +M``O =MO 2 2 d =s +4 在直角三角形NN``O中，根据勾股定理 2 2 2 NN` +N`O =NO 2 2 e =k +1 在三角形MNC中，NN`⊥MO,∠NOM=α，NO=e,NN`=h,MN=c, MN`=f,N`O=g,MO=d, 2 h=e*sinα=k *sinα+*sinα 2 g=e*cosα=k *cosα+*cosα 2 2 f=d-g=d-e*cosα=s +4-k *cosα-*cosα 2 2 2 2 c= f +h = (d-e*cosα) +(e*sinα) 2 2 = d -2de*cosα+e 如图5所示，在1/4圆弧中，AO=BO=1,AB=√2, AB = π/2, θ= π/2, 设弧上的单位弦长为γ，则γ=θw/√2= πw/2√2, 上式中，w=1.1, 3 2 w=0.33α +0.5α +α+1, 所以, 弧NM的长度等函数y的值，所以，y=πwc/2√2, 2 2 c= d -2de*cosα+e 2 2 y=[πw d -2de*cosα+e ]/2√2 一个函数y=f(x)的导数等于函数图像某点切线的斜率, tgα=y`=f`(x), α=arctgy`,所以, 2 2 y=[πw d -2de*cos (arctgy`)+e ]/2√2 因为, 2 2 d =s +4 2 2 e =k +1 所以, 2 2 2 2 πw s +4-2 (s +4 )(k +1 )*cos (arctgy`)+k +1 y= 2√2 所以, 从直线y=s,到直线y=k的定积分等于下面公式 2 2 2 2 k πw s +4-2 (s +4 )(k +1 )*cos (arctgy`)+k +1 ∫y`= s 2√2 根据黎曼积分相关性质，得 k k s ∫=∫+∫ t s t 2 2 2 2 2 k πw s +4-2 (s +4 )(k +1 )*cos (arctgy`)+k +1 ∫y`= s 2√2 2 2 2 2 πw t +4-2 (t +4 )(s +1 )*cos (arctgy`)+s +1 + 2√2 上式中，w=1.1, 或, 3 2 w=0.33α +0.5α +α+1 所以, y=πwc/2√2, 推导过程参见《数学拾遗》，清同治十二年荷池精舍出版，丁取忠编撰, 收录于《白芙堂算学丛书》 如图，八线二，通弦为线段己丙，它对应的通弧为弧己丙。它对应的矢是丙庚,丙庚=versinθ=1-cosθ, 角己甲丙=θ，线段己丙=λ. 设如，通弦一千万为第一条，半径一千万，为第一率，通弦为第二率，二率自乘，一率除之，又四除之，得二百五十万，为第三率，以第一条，三率乘之，一率除之，得二百五十万，为第四率，二除之，三除之，得四十一万六千六百六十六（小于六六），为第二条，以第二条，三率乘之，一率除之，得一十万零四千一百六十六（小于六六），为第六率，九乘之，四除之，五除之，得四万六千八百七十五，为第三条，以第三条，三率乘之，一率除之，得一万一千七百一十八（小于七五），为第八率，二十五乘之，六除之，七除之，得六千九百七十五（小于四四），为第四条，以第四条，三率乘之，一率除之，得一千七百四十三（小于八六），为第十率，四十九乘之，八除之，九除之，得一千一百八十六（小于七九），为第五条，以第五条，三率乘之，一率除之，得二百九十六（小于六九），为第十二率，八十一乘之，十除之，十一除之，得二百一十八（小于四七），为第六条，以第六条，三率乘之，一率除之，得五十四（小于六一），为第十四率，一百二十一乘之，十二除之，十三除之，得四十二（小于三六），为第七条，以第七条，三率乘之，一率除之，得一十零（小于五九），为第十六率，一百六十九乘之，十四除之，十五除之，得八（小于五二），为第八条，以第八条，三率乘之，一率除之，得二（小于一三），为第十八率，二百二十五乘之，十六除之，十七除之，得一（小于七六），为第九条，诸条相并，得一千零四十七万一千九百七十五，即六十度通弧本数也。 θ=1.0471975, θ=60° a第一条λ=1 a=λ b一率r=1 b=r c二率λ=1 c=1 2 2 d三率λ /4*1=1/4=0.25 d=λ /4 e四率0.25*1/1=0.25 e=λ*d/r f第二条0.25/2*3=0.041666666 f=e/2*3 g六率0.041666666*0.25=0.010416666 g=fd/r h第三条0.010416666*9/4*5=0.0046875 h=9*g/4*5 i八率0.0046875*0.25=0.001171875 i=h*d/r j第四条0.001171875*25/6*7=0.0006975446428 j=25i/6*7 k十率0.0006975446428*0.25=0.0001743861607 k=j*d/r m第五条0.0001743861607*49/8*9=0.0001186794705 m=49*k/8*9 n十二率0.0001186794705*0.25=0.00002966986762 n=m*d/r o第六条0.00002966986762*81/10*11=0.00002184781161 o=81*n/10*11 p十四率0.00002184781161*0.25=0.000005461952903 p=o*d/r q第七条0.000005461952903*121/12*13=0.000004236514752 q=121p/12*13 s十六率0.000004236514752*0.25=0.000001059128688 s=q*d/r t第八条0.000001059128688*168/14*15=0.0000008523464203 t=169s/14*15 u十八率0.0000008523464203*0.25=0.0000002130866051 u=t*d/r v第九条0.0000002130866051*225/16*17=0.0000001762664932 v=225u/16*17 θ=a+f+h+j+m+o+q+t+v =λ+e/2*3+25i/6*7+49k/8*9+81n/10*11+121p/12*13+169s/14*15+225u/16*17= =1+0.041666666+0.0046875+0.0006975446428+0.0001186794705+0.00002184781161 +0.000004236514752+0.0000008523464203+0.0000001762664932 =1.048265618 θ=60° 3 3 2 3 2 2 λ 1 λ λ 1 9 λ λ λ 1 9 25 θ=λ+ + + 4 2*3 4 4 2*3 4*5 4 4 4 2*3 4*5 6*7 3 2 2 2 λ λ λ λ 1 9 25 49 + 4 4 4 4 2*3 4*5 6*7 8*9 3 2 2 2 2 λ λ λ λ λ 1 9 25 49 81 + 4 4 4 4 4 2*3 4*5 6*7 8*9 10*11 3 2 2 2 2 2 λ λ λ λ λ λ 1 9 25 49 81 121 + 4 4 4 4 4 4 2*3 4*5 6*7 8*9 10*11 12*13 当0<θ≤45°时 3 5 7 9 λ 1 λ 9 λ 225 λ 11025 θ=λ+ + + + 4 6 16 120 32 5040 64 362880 11 13 15 λ 893025 λ 108056025 λ 1826146823 + + 128 39916800 512 6227020800 2048 13167436900 3 3 2 2n+1 λ 1 λ λ 1 9 λ 1 3*3*4*4*...*(2n+1)(2n+1) θ=λ+ + +…+ n 4 2*3 4 4 2*3 4*5 4 2*3 4*5...*(2n+1) 当0<θ≤45°时 3 5 7 9 λ 1 λ 9 λ 225 λ 11025 θ=λ- + - + 4 6 16 120 32 5040 64 362880 11 13 15 λ 893025 λ 108056025 λ 1826146823 - + - 128 39916800 512 6227020800 2048 13167436900 3 3 2 2n+1 λ 1 λ λ 1 9 n λ 1 3*3*4*4*...*(2n+1)(2n+1) θ=λ+ + +…+(-1) n 4 2*3 4 4 2*3 4*5 4 2*3 4*5...*(2n+1) 弧NM的长度等函数y的值，所以， y=θ,λ=c, 3 5 7 9 c 1 c 9 c 225 c 11025 y=c+ + + + 4 6 16 120 32 5040 64 362880 11 13 15 c 893025 c 108056025 c 1826146823 + + 128 39916800 512 6227020800 2048 13167436900 上式中， 2 2 c= d -2de*cosα+e 一个函数y=f(x)的导数等于函数图像某点切线的斜率tgα=y`=f`(x), α=arctgy`, 2 2 c= d -2de*cos(arctgy`)+e 如图5所示, 函数y=f(x)是平面XOY上面的一条曲线，点Q,M,N分别是y=f(x)和直线y=t,y=s,y=k的交点。NN`⊥ON`,MM`⊥OM`,NN``⊥ON``,MM``⊥OM``,NN`⊥MM`,垂足是P, MP=a,NP=b,∠MON=α，MN=c，MM``=s,ON``=k, MO=d,NO=e,M``N`=1,ON``=k,M``O=2,NN``=1,, 在直角三角形MM``N`中，根据勾股定理 2 2 2 MM`` +M``O =MO 2 2 2 d =s +4 在直角三角形NN``O中，根据勾股定理 2 2 2 NN` +N`O =NO 2 2 2 e =k +1 在直角三角形NN``O中，根据勾股定理 2 2 2 NN` +N`O =NO 2 2 e =k +1 在三角形MNC中，NN`⊥MO,∠NOM=α，NO=e,NN`=h,MN=c, MN`=f,N`O=g,MO=d, 在直角三角形NN`O中，根据勾股定理 g=e*cosα, 2 2 2 h = c -f f=d-g, 在直角三角形NN`M中，根据勾股定理 2 2 2 h =c -(d-g) 2 2 2 e =h +g 2 2 2 2 e =c -(d-g) +g 2 2 2 e =c -d +2dg 2 2 2 c =-e +d -2dg 2 2 2 c =-e +d -2de*cosα 2 2 2 cosα=(c +e -d )/2de 2 2 2 α=arccos(c +e -d )/2de 2 2 2 tgα=tg[arccos(c +e -d )/2de] 因为, 2 2 d =s +4 2 2 e =k +1 所以, 2 2 2 tgα=tg[arccos(c +k +1-s -4)/2 (k+1)(s+4) 这样就得到一个通过原函数计算导数的公式。 上式中，w=1.1, 或 3 2 w=0.33α +0.5α +α+1 所以, y=πwc/2√2, 第九部分数学拾遗通弦 推导过程参见《数学拾遗》，清同治十二年荷池精舍出版，丁取忠编撰，收录于《白芙堂算学丛书》 如图，八线二，通弦为线段己丙，它对应的通弧为弧己丙。它对应的矢是丙庚,丙庚=versinθ=1-cosθ, 角己甲丙=θ，线段己丙=λ， 通弧求通弦，法如弧求正弦，通弧求矢，法如弧求正矢，通弦求通弧法，如正弦求弧，皆以连比例第三率，四除之，以为每次所用之第三率。 设如，通弦六十度，半径一千万，求通弦，法以六十度，弧本数一千零四十七万一千九百七十五，为第一条，半径一千万为第一率，弧本数为第二率，二率自乘，一率除之，又四除之，得二百七十四万一千五百五十六，为第三率，以第一条，三率乘之，一率除之，得二百八十七万零九百五十一，为第四率，二除之，三除之，得四十七万八千四百九十一，为第二条，以第二条，三率乘之，一率除之，得一十三万一千一百八十一，为第六率，四除之，五除之，得六千五百五十九，为第三条，以第三条，三率乘之，一率除之，得一千七百九十三，为第八率，六除之，七除之，得四十二，为第四条，以第一条第三条相并，第二条第四条相并，两数相减，余一千万，即六十度通弦也。 a第一条θ=1.0471975 a=θ, b一率r=1 b=θr, c二率 θ=1.0471975 c=θ, 2 2 d三率 θ /4*1=0.274155651 d=c /4, e四率0.274155651*1.0471975/1=0.287095112 e=a*d/r f第二条0.287095112/6=0.047849185 f=e/2*3 g六率 0.047849185*0.274155651/1=0.013118124 g=fd/r h第三条0.013118124/4*5=0.0006559062285 h=g/4*5 i八率0.0006559062285*0.274155651=0.0001798203991 i=h*d/r j第四条0.0001798203991/6*7=0.000004281438073 j=i/6*7 x=a+h-f-j=θ+g/4*5-e/2*3-i/6*7 =1.0471975+0.0006559062285-0.047849185-0.000004281438073=0.994777439 当45°<θ≤90°时, 3 3 2 3 2 2 θ 1 θ θ 1 1 θ θ θ 1 1 1 λ=θ- + - 4 2*3 4 4 2*3 4*5 4 4 4 2*3 4*5 6*7 3 5 7 θ θ θ λ=θ- + - - 24 1920 80640 3 3 2 2n+1 θ 1 θ θ 1 1 n θ 1 1 1 λ=θ- + -…(-1) n 4 2*3 4 4 2*3 4*5 4 2*3 4*5...*(2n+1) 当0<θ≤45°时 3 3 2 3 2 2 θ 1 θ θ 1 1 θ θ θ 1 1 1 λ=θ+ + + 4 2*3 4 4 2*3 4*5 4 4 4 2*3 4*5 6*7 3 5 7 θ θ θ λ=θ+ + + - 24 1920 80640 3 3 2 2n+1 θ 1 θ θ 1 1 θ 1 1 1 λ=θ+ + +…+ n 4 2*3 4 4 2*3 4*5 4 2*3 4*5...*(2n+1) 设如，通弦一千万为第一条，半径一千万，为第一率，通弦为第二率，二率自乘，一率除之，又四除之，得二百五十万，为第三率，以第一条，三率乘之，一率除之，得二百五十万，为第四率，二除之，三除之，得四十一万六千六百六十六（小于六六），为第二条，以第二条，三率乘之，一率除之，得一十万零四千一百六十六（小于六六），为第六率，九乘之，四除之，五除之，得四万六千八百七十五，为第三条，以第三条，三率乘之，一率除之，得一万一千七百一十八（小于七五），为第八率，二十五乘之，六除之，七除之，得六千九百七十五（小于四四），为第四条，以第四条，三率乘之，一率除之，得一千七百四十三（小于八六），为第十率，四十九乘之，八除之，九除之，得一千一百八十六（小于七九），为第五条，以第五条，三率乘之，一率除之，得二百九十六（小于六九），为第十二率，八十一乘之，十除之，十一除之，得二百一十八（小于四七），为第六条，以第六条，三率乘之，一率除之，得五十四（小于六一），为第十四率，一百二十一乘之，十二除之，十三除之，得四十二（小于三六），为第七条，以第七条，三率乘之，一率除之，得一十零（小于五九），为第十六率，一百六十九乘之，十四除之，十五除之，得八（小于五二），为第八条，以第八条，三率乘之，一率除之，得二（小于一三），为第十八率，二百二十五乘之，十六除之，十七除之，得一（小于七六），为第九条，诸条相并，得一千零四十七万一千九百七十五，即六十度通弧本数也。 θ=1.0471975, θ=60° a第一条λ=1 a=λ b一率r=1 b=r c二率λ=1 c=1 2 2 d三率λ /4*1=1/4=0.25 d=λ /4 e四率0.25*1/1=0.25 e=λ*d/r f第二条0.25/2*3=0.041666666 f=e/2*3 g六率0.041666666*0.25=0.010416666 g=fd/r h第三条0.010416666*9/4*5=0.0046875 h=9*g/4*5 i八率0.0046875*0.25=0.001171875 i=h*d/r j第四条0.001171875*25/6*7=0.0006975446428 j=25i/6*7 k十率0.0006975446428*0.25=0.0001743861607 k=j*d/r m第五条0.0001743861607*49/8*9=0.0001186794705 m=49*k/8*9 n十二率0.0001186794705*0.25=0.00002966986762 n=m*d/r o第六条0.00002966986762*81/10*11=0.00002184781161 o=81*n/10*11 p十四率0.00002184781161*0.25=0.000005461952903 p=o*d/r q第七条0.000005461952903*121/12*13=0.000004236514752 q=121p/12*13 s十六率0.000004236514752*0.25=0.000001059128688 s=q*d/r t第八条0.000001059128688*168/14*15=0.0000008523464203 t=169s/14*15 u十八率0.0000008523464203*0.25=0.0000002130866051 u=t*d/r v第九条0.0000002130866051*225/16*17=0.0000001762664932 v=225u/16*17 θ=a+f+h+j+m+o+q+t+v =λ+e/2*3+25i/6*7+49k/8*9+81n/10*11+121p/12*13+169s/14*15+225u/16*17= =1+0.041666666+0.0046875+0.0006975446428+0.0001186794705+0.00002184781161 +0.000004236514752+0.0000008523464203+0.0000001762664932 =1.048265618 θ=60° 3 3 2 3 2 2 λ 1 λ λ 1 9 λ λ λ 1 9 25 θ=λ+ + + 4 2*3 4 4 2*3 4*5 4 4 4 2*3 4*5 6*7 3 2 2 2 λ λ λ λ 1 9 25 49 + 4 4 4 4 2*3 4*5 6*7 8*9 3 2 2 2 2 λ λ λ λ λ 1 9 25 49 81 + 4 4 4 4 4 2*3 4*5 6*7 8*9 10*11 3 2 2 2 2 2 λ λ λ λ λ λ 1 9 25 49 81 121 + 4 4 4 4 4 4 2*3 4*5 6*7 8*9 10*11 12*13 当0<θ≤45°时 3 5 7 9 λ 1 λ 9 λ 225 λ 11025 θ=λ+ + + + 4 6 16 120 32 5040 64 362880 11 13 15 λ 893025 λ 108056025 λ 1826146823 + + 128 39916800 512 6227020800 2048 13167436900 3 3 2 2n+1 λ 1 λ λ 1 9 λ 1 3*3*4*4*...*(2n+1)(2n+1) θ=λ+ + +…+ n 4 2*3 4 4 2*3 4*5 4 2*3 4*5...*(2n+1) 当0<θ≤45°时 3 5 7 9 λ 1 λ 9 λ 225 λ 11025 θ=λ- + - + 4 6 16 120 32 5040 64 362880 11 13 15 λ 893025 λ 108056025 λ 1826146823 - + - 128 39916800 512 6227020800 2048 13167436900 3 3 2 2n+1 λ 1 λ λ 1 9 n λ 1 3*3*4*4*...*(2n+1)(2n+1) θ=λ+ + +…+(-1) n 4 2*3 4 4 2*3 4*5 4 2*3 4*5...*(2n+1) π的计算, 圆径求周，以全径（半径即六十度弧之通弧，全径为六十度弧通弦者二）三因之（为六十度通弦者六）为第一条，以第一条，四除之，又二除之，三除之，为第二条，以第二条，九乘之，四除之，又四除之，五除之，为第三条，以第三条，二十五乘之，四除之，又六除之，七除之，为第四条，以第四条，四十九乘之，四除之，又八除之，九除之，为第五条，以第五条，八十一乘之，四除之，又十除之，十一除之，为第六条，以后例推除至，单位而至，以逐条相并，即圆周也。 设如，全径一千万，求圆周。 法以全径一千万，三因之，得三千万，为第一条，以第一条，四除之，又二除之，三除之，得一百二十五万，为第二条，以第二条，九乘之，四除之，又四除之，五除之，得一十四万零六百二十五，为第三条，以第三条，二十五乘之，四除之，又六除之，七除之，得二万零九百二十六（小于三三），为第四条，以第四条，四十九乘之，四除之，又八除之，九除之，得三千五百六十零（小于三八），为第五条，以第五条，八十一乘之，四除之，又十除之，十一除之，得六百五十五（小于四三），为第六条，以第七条，一百六十九乘之，四除之，又十四除之，十五除之，得二十五（小于五七），为第八条，以第八条，二百二十五乘之，四除之，又十六除之，十七除之，得五（小于二八），为第九条，以第九条，二百八十九乘之，四除之，又十八除之，十九除之，得一（小于一一），为第十条，以十条相并，得三千一百四十一万五千九百二十六，即圆周。 a第一条3r=1*3=3 a=3r b第二条3/4*2*3=0.125 b=a/4*2* c第三条0.125*9/4*4*5=0.0140625 c=9b/4*4*5 d第四条0.0140625*25/4*6*7=0.002092633929 d=25c/4*6*7 e第五条0.002092633929*49/4*8*9=0.0003560384115 e=49d/4*8*9 f第六条0.0003560384115*81/4*10*11=0.00006554343484 f=81e/4*10*11 g第七条0.00006554343484*121/4*12*13=0.00001270954426 g=121f/4*12*13 h第八条0.00001270954426*169/4*14*15=0.0000002557039262 h=169g/4*14*15 i第九条0.0000002557039262*225/4*16*17=0.00000005287994797 i=225h/4*16*17 j第十条0.00000005287994797*289/4*18*19=0.00000001117127556 j=289i/4*18*19 π=a+b+c+d+e+f+g+h+i+j =3r+a/4*2*3+9b/4*4*5+25c/4*6*7+49d/4*8*9+81e/4*10*11+121f/4*12*13+169g/4*14*15+225h/4*16*17+289i/4*18*19 =3+0.125+0.0140625+0.002092633929+0.0003560384115+0.00006554343484+0.00001270954426+0.0000002557039262+0.00000005287994797+0.00000001117127556 =3.141592522 3r 3r 25 3r 25 49 π=3r+ + + 4*2*3 4*2*3 4*6*7 4*2*3 4*6*7 4*8*9 3r 25 49 81 + 4*2*3 4*6*7 4*8*9 4*10*11 3r 25 49 81 169 + 4*2*3 4*6*7 4*8*9 4*10*11 4*14*15 3r 25 49 81 169 225 + 4*2*3 4*6*7 4*8*9 4*10*11 4*14*15 4*16*17 3r 25 49 81 169 225 289 + 4*2*3 4*6*7 4*8*9 4*10*11 4*14*15 4*16*17 4*18*19 2 3r 3r 25 3r 25 49 (2n+1) π=3r+ + + +…+ 4*2*3 4*2*3 4*6*7 4*2*3 4*6*7 4*8*9 4*2*3 …*4*2n*(2n+1) 此六通弦，求六通弧也，其不用连比例者，六十度通弦与半径等，则每率皆等无用比例也， 每条多，一四除之者，即不用连比例，则第三率之四除以，为每次第三率者，分用于每条中也，盖求通弦，通弧之于第三率，先用四除原，即每条各用之四除，总用之于第三率也。以上诸法，无论弧之大小，按法求之，皆得真数，若弧过六十度者，可以余弧求得，余弦乃用勾股法求得，正弦，若弧在三十度以外，至六十度者，求之之条数，渐多，尚若其繁，则又有借弧借弦之法。 求周径密率捷法，译西士杜德美法。 割圆旧术，屡求勾股至精至密，但开数十位之方，非旬日不能辩，今以圆内六等边，别立乘除之数，以求之得之，顷刻与屡求勾股者无异，故称捷焉。 先将一三五七九等数，各自乘为屡次乘数，如一自乘仍得一，为第一乘数，三自乘得九，为第二乘数，以至二十三自乘，得五百二十九，为第十二乘数，又将二三四五六七八九等数，以挨次两位相乘，又以四乘之，为屡次除数。 如二三相乘，得六，以四除之，得二十四，为第一除数，四五相乘，得二十，以四乘之，得八十，为第二除数，以至二十四与二十五相乘，得六百，以四乘之，得二千四百，为第十二除数。 设径二十亿，求周（径位愈多，尾数愈密，兹以十位为例）, 法以径二十亿，三因之，得六十亿（即圆内六边形），为第一数，为实以第一乘数乘之，（一乘其数不变），第一除数（二十四）除之，得二五零零零零零零零，为第二数，又为实以第二乘数（九）乘之，第二除数八十除之，得二八一二五零零零，为第三数，累次乘除至所得一位为止，（去单位以下之零数不用）, 乃并之，得六二八三一八五二九九，即所求二十亿之周也。 a第一数3r=2*3=6 b第二数6*1/24=0.25 c第三条0.25*9/80=0.028125 d第四条0.028125*25/168=0.004185267857 e第五条0.028125*49/288=0.0007120768229 f第六条0.0007120768229*81/440=0.0001310868697 g第七条0.0001310868697*121/624=0.00002541908851 h第八条0.00002541908851*169/840=0.000005114078522 i第九条0.000005114078522*225/1088=0.000001057598959 j第十条0.000001057598959*289/1368=0.0000002234255111 k第十一条0.0000002234255111*316/1680=0.00000004800988661 m第十二条0.00000004800988661*441/2064=0.00000001025792635 n第十三条0.00000001025792635*529/2400=0.00000002261017934 2π=a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k+m+n=6+0.25+0.028125+0.004185267857+0.0007120768229 +0.0001310868697+0.00002541908851+0.000005114078522+0.000001057598959 +0.0000002234255111+0.00000004800988661+0.00000001025792635+0.00000002261017934 =6.283022345 3r 3r 9 3r 9 25 π=3r+ + + 24 24 80 24 80 168 3r 9 25 49 + 24 80 168 288 3r 9 25 49 81 + 24 80 168 288 440 3r 9 25 49 81 121 + 24 80 168 288 440 624 3r 9 25 49 81 121 169 + 24 80 168 288 440 624 840 3r*1*1 3r*1*1 3*3 3r*1*1 3*3 5*5 π=3r+ + + +…+ 2*3*4 2*3*4 4*5*4 2*3*4 4*5*4 6*7*4 (n+1)(n+2)*4 3r*n*n (n+2)(n+2) (n+4)(n+4) (n+2k)(n+2k) +…+ (n+1)(n+2)*4 (n+3)(n+4)*4 (n+5)(n+6)*4 (n+k+1)(n+k+2)*4 论曰，乘除俱至单位止，今设十位之径，须乘除十二次，始至单位，若位数多，则所用乘除之数，必须按位增加也。 弧线表 度、分、秒化弧度表 度 1，0.017453292519943 2，0.034906585039886 3，0.052359877559829 4，0.069813170079773 5，0.087266462599716 6，0.104719755119659 7，0.122173047639603 8，0.139626340159546 9，0.15709632679489 10，0.174532925199432 分 1，0.000290888208665 2，0.000581776417331 3，0.000872664625997 4，0.001163552834662 5，0.001454441043328 6，0.001745329251994 7，0.002036217460660 8，0.002327105669325 9，0.002617993877991 10，0.002908882086657 秒 1，0.000004848136811 2，0.000009696273623 3，0.000014544410432 4，0.000019392547244 5，0.000024240684055 6，0.000029088820866 7，0.000033936957677 8，0.000038785094488 9，0.000043633221299 10，0.000048481368111 注：90°=1.570796226794896， 59°=5*0.174532925199432+9*0.017453292519943=1.029744258， 立表之法 置全周密率为实，以三百六十度，除之，得每度之弧线，屡加之至十度，又置一度之弧线为实，以六十分除之，得一分之弧线，屡加之至十分，又置一分之弧线为实，以六十秒除之，得一秒之弧线，屡加之至十秒，表而列之，为求弦矢之用。 求弦矢捷法 弧矢，割圆之术，有弧背，即可以求弦矢，然非密率大，测割圆之法，理精数密，然不能随度，以求弦矢，今任设畸零之弧，分，度，不必符乎，六宗法不必依乎，三要而弦矢可得，且与密率无殊焉，斯诚术之奇而捷者。 设弧二十一度一十九分五十一秒，（半径八位），求其正弦， 21°19`51``=0.34906585+0.01745329+0.0029088+0.00261799+0.0002424+0.0000484 =0.37229325 法于弧线表内，取二十度一十九分五十一秒之弧线，而并之得三七二二九三二五（因半径八位，故弧线亦之用八位），为设弧之，其分自乘得一三八六零二二六（亦只用八位），为屡乘数，又以二三四五六七之六数相挨，两两相乘为除数，（如二三相乘，得六，为第一除数，四五相乘，得二十，为第二除数，六七相乘，得四十二，为第三除数），即用设弧，其分为第一得数，复为实，以屡乘数乘之，（凡乘出之数，截去末八位后，放此），第一除数六除之得八六零零一一，为第二得数，又为实，以屡乘数乘之，第二除数十二除之，得五九五九，为第三得数，又为实，以屡乘数乘之，第三除数四十二除之，得一十九，为第四得数，乃以第一得数与第三得数相并，又以第二得数与第四得数相并，末以后并数，减前并数，余三六三七五二五四，截去末一位，即所求之正弦也。（凡正弦俱小于半径，人算时，多用一位以齐尾数，故得数后，亦截去一位，也后放此，） 21°19`51``=0.37229325 2 a第一数0.37229325*0.37229325=0.138602264 a=θ 3 b第二数0.138602264*0.37229325/6=0.008600114554 b=θ /6 c第三数0.008600114554*0.138602264/20=0.00005959976739 c=ab/20 d第四条0.00005959976739*0.138602264/42=0.0000001966824451 d=ac/42 sin0.37229325 =0.37229325+0.0005959976739-0.008600114554-0.0000001966824451=0.364288936 3 3 2 3 2 2 3 2 2 θ θ θ θ θ θ θ θ θ sinθ=θ- + - +...-(-1) … 2*3 2*3 4*5 2*3 4*5 6*7 (n+1)(n+2) (n+3)(n+4)..(n+k)(n+k+1) 16°27`43``=0.17453292519+0.10471975511+0.0581776417+0.203621746+0.0019392547+0.0001454441=0.28731513181 法取，设弧度分秒之弧线而并之，得二八七三一五一三（因半径九位，故弧线亦用九位），为设弧之其分自乘，得八二五四九九八五零，为屡乘数，又用二三相乘之六，为第一除数，四五相乘之二十，为第二除数，六七相乘之四十二，为第三除数，即用设弧其分为第一得数，复为实以屡乘数乘之，第一除数六除之，得三九五二九七六为第二得数，又为实以屡乘数乘之，第二除数十二除之，得一六三一五，为第三得数，又为实以屡乘数乘之，第三除数四十二除之，得三二，为第四得数，乃以第一得数与第三得数相并，又以第二得数与第四得数相并，复以后并数减前并数，余二八三三七八四三九，截去末一位，即所求之正弦也。 16°27`43``=0.28731513181, 2 a第一数0.28731513181*0.28731513181=0.08254998497 a=θ 3 b第二数0.28731513181*0.08254998497/6=0.00395297664 b=θ /6 c第三数0.00395297664*0.08254998497/20=0.00001631591 c=ab/20\ d第四条0.00001631591*0.08254998497/42=0.00000003207 d=ac/42 sin0.28731513181=0.08254998497+0.00001631591-0.00395297664-0.00000003207 =0.283378439 第十部分用割圆法解薛定谔方程 推导过程可参见苏联福瑞德里许.洪德著，王福山译，科学出版社1958年出版，《原子与量子理论》，原子与量子理论P228页， 薛定谔方程 ћ △ψ+Uψ-iћψ=0 2m 解为 -iEt/ћ ψ=u(x,y,z)e 上式中， 2 x U = sinnπ （n=1,2,3,...,) n a a 其本征值为： 2 2 ћ π 2 E = n n 2 2ma m为电子质量，a为电子加速度，n为电子数量， 一维薛定谔方程： 2 ћ Ә ψ(x,t) Әψ(x,t) - +U(x,t)ψ(x,t)=iћ 2 Әt 2μ Әx 解为 -iEt/ћ ψ=u(x,y,z)e 上式中，ψ为波函数，u为电子电势，E为电场强度，ћ为约化普朗克常数,i为单位虚数。 三维薛定谔方程： 2 2 2 2 ћ Ә ψ Ә ψ Ә ψ Ә ψ(x,t) - （ + + ）+U(x,t)ψ(x,t)=iћ 2 2 2 Әt 2μ Әx Әy Әz 定态薛定谔方程： ћ 2 - ψ+Uψ=Eψ 2m 上式中，#h代表约化普朗克常数, 薛定谔解法一： 推导过程可参见苏联福瑞德里许.洪德著，王福山译，科学出版社1958年出版，《原子与量子理论》, 因为, ψ=acos(-ωt+qr), 上式中，ψ表示粒子运动的轨道，ω代表粒子运动的角速度, a代表粒子运动时的振幅，t代表时间, r代表粒子的位置，q代表粒子波形的个数，粒子运动的波形是一个余弦波，或者一个波群 ψ=∑a cos(-ω t+qr+α ) q q q q 上式中，表示有q个粒子运动的余弦波形组成了一个群, 上式中，ψ表示粒子运动的轨道，ψ等于这些粒子运动余弦波的和, α表示粒子初始位置的在余弦波中的角度，所以, ψ=acos(-ωt+qx) 因为, 2 ћ Ә ψ(x,t) Әψ(x,t) [- +U(x,t)ψ(x,t)]/iћ= 2 Әt 2μ Әx 所以, 2 ћ Ә acos(-ωt+qx) 2 x Әψ(x,t) [- + sinnπ acos(-ωt+qx)]/iћ= 2 a a Әt 2μ Әx ћ 2 x Әψ(x,t) [- acos(-ωt+qx)+ sinnπ acos(-ωt+qx)]/iћ= a a Әt 2μ 因为, 推导过程可见割圆法页， 3 5 7 ∞ ∞ π π π ∫f`(w)= ∑ζ=∑f(logsecθ/y)(π- + - ) n=1 n=1 24 1920 80640 3 5 7 ∞ π π π ∑f(logsec(π/ny))(π- + - ) n=1 24 1920 80640 或者 3 5 7 ∞ ∞ π π π ∫f`(w)= ∑ζ=∑f(-lncosθ/y)(π- + - ) n=1 n=1 24 1920 80640 3 5 7 ∞ π π π ∑f(-lnsec(π/ny))(π- + - ) n=1 24 1920 80640 所以， 3 5 7 Әψ(x,t) ∞ ∞ π π π ψ(x,t)= ∫ = ∑ζ=∑f(logsecθ/y)(π- + - ) Әt n=1 n=1 24 1920 80640 3 5 7 ∞ π π π =∑f(logsec(π/ny))(π- + - ) n=1 24 1920 80640 设 ћ 2 x y=f(x)=[- acos(-ωt+qx)+ sinnπ acos(-ωt+qx)]/iћ a a 2μ 所以, ћ ψ(x,t) =∑[ acos(-ωt+qlogsec(π/ny))+ 2μ 3 5 7 2 logsec(π/ny) π π π sinnπ acos(-ωt+qlogsec(π/ny))]/iћ]( + + ) a a a 24 1920 80640 所以, 3 5 7 Әψ(x,t) ∞ ∞ π π π ψ(x,t)= ∫ = ∑ζ=∑f(-lncosθ/y)(π- + - ) Әt n=1 n=1 24 1920 80640 3 5 7 ∞ π π π =∑f(-lncos(π/ny))(π- + - ) n=1 24 1920 80640 设 ћ 2 x y=f(x)=[- acos(-ωt+qx)+ sinnπ acos(-ωt+qx)]/iћ a a 2μ 所以, ћ ψ(x,t) =∑[ acos(-ωt-qlncos(π/ny))- 2μ 3 5 7 2 lncos(π/ny) π π π sinnπ acos(-ωt-qlncos(π/ny))]/iћ]( + + ) a a a 24 1920 80640 当分母不为0时，极限的求法 推导过程可参见1946年版《大学教本微积分学》，周梦鏖译，龙门联合书局出版 2 x -4 lim =4 x→2 x-2 lim (x+2)=4 x→2 当分母为0时，极限的求法，如下所示 例2: 证明 2 2x -2 lim =4 x→1 x-1 这不算证明，现在用定义证明，这里 2 2x -2 f(x)= =4 , A=4,x =1, x-1 0 因为, 2 2 2x -2 2(x -2x+1) │f(x)-A│= -4 = =2│x-1│,(x≠1) x-1 x-1 所以对于任意给定的ε>0，要使│f(x)-A│<ε，就应取│x-x │=│x-1│<ε/2, 0 因此应取δ=ε/2,当：0<│x-x │=│x-1│<δ=ε/2, 时，就恒有 0 │f(x)-A│=2│x-1│<2*ε/2=ε, 由此可知 2 2x -2 lim =4 x→1 x-1 综上所述：当x-1<δ时，f(x)-4<ε, 所以f(x)在x→1的时，极限是4 计算sinx导数的电路 计算sinx的导数的过程和求下面极限的过程相似 2 2x -2-t(x-1) =s(x-1) x-1 2 2x -2 lim =4 x→1 x-1 因为, 2 2x -2 2(x -2x+1) │f(x)-A│= -4 = =2│x-1│,(x≠1) x-1 x-1 用乘法器，除法器，减法器，表示上面等式，用电压表测量等式两端电压相等时，s的输出是正整数时，这时t的输出电压值就是极限值4., △y sin(x +△x)-sinx (sinx)`= lim =lim =cosx=t △x→0 △x △x sin(x+△x)-sinx-t*△x 设g(x)= =s*△x △x 下面的电路实现的上面公式的功能 计算cosx不定积分的电路 用直流电源电压表示x,t,s的数值，用乘法器，除法器，减法器，表示上面等式，用电压表测量等式两端电压相等时，s的输出是正整数时，这时t的输出电压值就是极限值4. △y sin(x +△x)-sinx (sinx)`= lim =lim =cosx=t △x→0 △x △x 下面的电路实现的上面公式的功能 sin(x+△x)-sinx=△x*(s*△x+t), 设, sinw=sin(x+△x)-sinx, sinw=△x*(s*△x+t), 其中t=cosx, sinw=△x*(s*△x+cosx), sin(x+△x)-sinx-t*△x =s*△x △x 薛定谔方程解法二： 用乘法器，除法器，减法器，表示上面等式，用电压表测量等式两端电压相等时，s的输出是正整数时，这时k的输出电压值就是极限值, 因为, 一维薛定谔方程： 2 ћ Ә ψ(x,t) Әψ(x,t) - +U(x,t)ψ(x,t)=iћ 2 Әt 2μ Әx 所以, 2 ћ Ә ψ(x,t) Әψ(x,t) [- +U(x,t)ψ(x,t)]/iћ= 2 Әt 2μ Әx 2 ћ Ә ψ(x,t) △{[- +U(x,t)ψ(x,t)]/i#h} 2μ 2 Әψ(x,t) △ψ Әx = lim =lim Әt △x→0 △x △t 2 2 ћ Ә ψ(x+△x,t) ћ Ә ψ(x,t) [- +U(x+△x,t)ψ(x+△x,t)]/iћ-[- +U(x,t)ψ(x,t)]/iћ 2μ 2 2μ 2 Әx Әx =lim △t 设g(x)= 2 2 ћ Ә ψ(x+△x,t) ћ Ә ψ(x,t) [- +U(x+△x,t)ψ(x+△x,t)]/iћ-[- +U(x,t)ψ(x,t)]/iћ 2μ 2 2μ 2 Әx Әx △t 用直流电源电压表示x,t,s的数值，用乘法器，除法器，减法器，表示上面等式，用电压表测量等式两端电压相等时，s的输出是正整数时，这时k的输出电压值就是极限值. 2 ћ Ә ψ(x,t) Әψ(x,t) [- +U(x,t)ψ(x,t)]/iћ= 2 Әt 2μ Әx 下面的电路实现的上面公式的功能 sin(x+△x)-sinx=△x*(s*△x+t), 2 2 ћ Ә ψ(x+△x,t) ћ Ә ψ(x,t) [- +U(x+△x,t)ψ(x+△x,t)]/iћ-[- +U(x,t)ψ(x,t)]/iћ=△t*(s*△t+k) 2μ 2 2μ 2 Әx Әx 设 2 2 ћ Ә ψ(x+△x,t) ћ Ә ψ(x,t) [- +U(x+△x,t)ψ(x+△x,t)]/iћ-[- +U(x,t)ψ(x,t)]/iћ-k△t 2μ 2 2μ 2 Әx Әx =s*△t △t 2 2 ћ Ә ψ(x+△x,t) ћ Ә ψ(x,t) ψ(w,t)=[-- +U(x+△x,t)ψ(x+△x,t)]/iћ-[- +U(x,t)ψ(x,t)]/iћ 2μ 2 2μ 2 Әx Әx ψ(w,t)=△t*(s*△t+k) Әψ(x,t) 其中k= Әt Әψ(x,t) ψ(w,t)=△t*(s*△t+ ) Әt 推导过程可参见苏联福瑞德里许.洪德著，王福山译，科学出版社1958年出版，《原子与量子理论》, 因为, ψ=acos(-ωt+qr), 上式中，ψ表示粒子运动的轨道，ω代表粒子运动的角速度, a代表粒子运动时的振幅，t代表时间, r代表粒子的位置，q代表粒子波形的个数，粒子运动的波形是一个余弦波，或者一个波群, ψ=∑a cos(-ω t+qr+α ) q q q q 上式中，表示有q个粒子运动的余弦波形组成了一个群, 上式中，ψ表示粒子运动的轨道，ψ等于这些粒子运动余弦波的和, α表示粒子初始位置的在余弦波中的角度，, 所以, ψ=acos(-ωt+qx), 因为, 2 x U = sinnπ （n=1,2,3,...,) n a a 2 ћ Ә ψ(x,t) Әψ(x,t) [- +U(x,t)ψ(x,t)]/iћ= 2 Әt 2μ Әx 所以, 2 ћ Ә acos(-ωt+qx) 2 x Әψ(x,t) [- + sinnπ acos(-ωt+qx)]/iћ= 2 a a Әt 2μ Әx ћ 2 x Әψ(x,t) [- acos(-ωt+qx)+ sinnπ acos(-ωt+qx)]/iћ= a a Әt 2μ 所以, Әψ(x,t) ψ(w,t)= ∫ Әt 2 2 ћ Ә ψ(x+△x,t) ћ Ә ψ(x,t) =[- +U(x+△x,t)ψ(x+△x,t)]/iћ-[- +U(x,t)ψ(x,t)]/iћ 2μ 2 2μ 2 Әx 2 ћ Ә acos[-ωt+q(x+△x)] =[- +U(x+△x,t)acos[-ωt+q(x+△x)]]/i#h 2μ 2 Әx 2 ћ Ә acos(-ωt+qx) -[- +U(x,t)acos(-ωt+qx)]/i#h 2μ 2 Әx ћ 2 x =[- acos[-ωt+q(x+△x)]+ sinnπ acos(-ωt+qx)]/iћ a a 2μ ћ 2 x -[- acos(-ωt+qx)+ sinnπ acos(-ωt+qx)]/iћ a a 2μ  |
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