第一部分 五行说

五行说

五行说是中国古代道学核心哲学理论，以金、木、水、火、土五种元素阐释宇宙生成与自然规律。其概念源于先民对星辰与物质的观察，道教经典《元始五老赤书玉篇真文天书经》将其定义为“炁”的演化形态，构建了五方、五色、天干地支等关联体系。五行通过相生（木生火等）与相克（水克火等）形成动态平衡，分别对应生长、炎上等特性，并扩展至天文（五星）、地理（物质形态）及人文（五德）领域。战国时期邹衍提出“五德终始说”将五行应用于朝代更替，汉代董仲舒提出“五行相生”理论，完善生克学说，形成涵盖季节、方位、人体脏腑等领域的五维结构学说。其起源可追溯至殷商时期的“地之五材”与“五方空间观”，五行概念存在多重起源，除“地之五行”（水道、五材）与“五方”观外，先秦文献中“五行”亦常指“人之五行”（如五种德行），“水火木金土”作为五行内涵的形成相对晚出。《尚书·洪范》明确元素属性，《洪范》将“五行”列为九畴之首，视其为整个物质世界与政治世界的基础，西汉《淮南子》记载五行旺衰周期与季节配属规则。道教将五行与八卦、干支结合，形成涵盖占星、历法等领域的分类系统，成为古代哲学与自然科学的基础模型，与阴阳学说并列为中国传统文化的两大基石。

简介

金、木、水、火、土五类物质各有不同属性，如木有生长发育之性；火有炎热、向上之性；土有和平、存实之性；金有肃杀、收敛之性；水有寒凉、滋润之性。五行说把自然界一切事物的性质l类别纳入这五大类的范畴。

五种元素在天上形成五星，即金星、木星、水星、火星、土星，在地上就是金、木、水、火、土五种神物质，在人就是仁、义、礼、智、信五种德性。古代人认为这五类物质在天地之间形成串联，如果天上的木星有了变化、地上的木类和人的仁心都随之产生变异，迷信色彩十分浓厚的占星术就是以这种天、地、人三界相互影响为理论基础衍生而来的。

五行学说作为中国古代哲学的核心理论之一，与阴阳学说共同构成了中国传统文化的哲学基础。五行学说与古希腊的四元素说等西方哲学体系形成对比。五行学说不仅用于解释自然现象，还广泛应用于中医学等领域，成为理解人体生理病理的重要模型。发展历程

五行概念最早可追溯至殷商时期，体现为东、南、西、北、中“五方”的空间观念。五方观念的产生与古人对北斗星斗柄位置变动及相应物候变化的观察有关。西周末年，出现了“五材”说，将五行具体指认为木、火、土、金、水五种物质。《尚书·洪范》对五行的基本属性作了概括，即“水曰润下，火曰炎上，木曰曲直，金曰从革，土爰稼穑”，并将其与五味（咸、苦、酸、辛、甘）相对应。西周末年思想家史伯提出“和实生物”，将土、金、木、水、火抽象为构成世界万物的基本元素。战国时期阴阳家邹衍创立“五德终始说”，利用五行相胜（土、木、金、火、水）的原理解释历史朝代更替，首次将五行学说系统应用于政治领域。汉代董仲舒等人将五行学说与儒家思想、天人感应学说相结合，发展出五行相生理论，使其更广泛应用于解释自然与社会现象。医学典籍《黄帝内经》将五行学说系统引入医学理论，用以阐述人体脏腑间的生理、病理关系。研究表明，“五行”概念存在多重起源，如早期指地理“水道”（地之五行），或指人的“德行”（人之五行）。作为五行核心内涵的“水、火、木、金、土”出现较晚，在先秦文献中常复合出现，直至汉代方被整合为完整的学说体系。相生相克

五行相生金生水，水生木，木生火，火生土，土生金。五行相克火克金，金克木，木克土，土克水，水克火。五行类别

天干五行甲乙同属木，甲为阳木，乙为阴木；丙丁同属火，丙为阳火，丁为阴火，戊己同属土，戊为阳土，己为阴土；庚辛同属金，庚为阳金，辛为阴金；壬癸同属水，壬为阳水，癸为阴水。

地支五行寅卯属木，寅为阳木，卯为阴木；巳午属火，午为阳火，巳为阴火；申酉属金，申为阳金，酉为阴金，子亥属水，子为阳水，亥为阴水；辰戌丑未属土，辰戌为阳土，丑未为阴土。

八卦五行乾、兑属金，震、巽属木，坤、艮属土，离属火，坎属水。干支五行甲子乙丑海中金，丙寅丁卯炉中火，戊辰己巳大林木，庚午辛未路旁土，壬申癸酉剑锋金，甲戌乙亥山头火，丙子丁丑涧下水，戊寅己卯城头土，庚辰辛巳白腊金，壬午癸未杨柳木，甲申乙酉泉中水，丙戌丁亥屋上土，戊子己丑霹雳火，庚寅辛卯松柏木，任辰癸巳长流水，甲午乙未沙中金，丙申丁酉山下火，戊戌己亥平地木，庚子辛丑壁上土，壬寅癸卯金箔金，甲辰乙己复灯火，丙午丁未天河水，戊申己本大驿土，庚戌辛亥钗钏金，壬子癸丑桑柘木，甲寅乙卯大溪水，丙辰丁巳水各土，戊午己未天上火，庚申辛西石榴木，壬戌癸亥大海水。应用

五行学说在中医学中有着核心应用，将自然界的五种元素——木、火、土、金、水，分别与人体内的五脏——肝、心、脾、肺、肾相对应，用于解释脏腑生理功能、病理变化并指导疾病的诊断和治疗。木对应肝，象征生长和发育，符合肝主疏泄的生理特点；火对应心，代表热和能量，适应心主血脉的特性；土对应脾，象征稳定与营养，符合脾主运化的功能；金对应肺，代表肃降，符合肺主气的功能；水对应肾，象征寒凉与储藏，符合肾主藏精的特性。五行相生相克规律也被用来阐述人体脏腑组织之间的复杂关系，如肝（木）促进心（火）的功能，而过度的木气则可能损伤脾（土）。在古代政治与历史领域，五行学说衍生出“五德终始说”。战国末期阴阳家邹衍利用五行相胜（克）的原理，将土木金火水五种德运的转移顺序与王朝更替相联系，为政权合法性提供解释，如黄帝为土德，夏为木德，商为金德，周为火德，代周者必为水德。秦始皇是第一个采纳此说的君主，定秦为水德，色尚黑。汉代以后，经董仲舒、刘歆等人发展，五德相生说逐渐成为主流，并与“禅让”观念结合，为从汉到宋的王朝更替提供理论依据。直至元明清时期，此说才逐渐退出历史舞台。在治理哲学与社会思想层面，《尚书·洪范》将“五行”列为“洪范九畴”之首，视为君王治理天下的基础法则和认识世界的根本思维框架。五行理论不仅与“五事”（貌、言、视、听、思）等人君德行相对应，体现天人合一的思想，还通过数序化和象征化，成为构建有序政治世界与物质世界的基石。影响

五行学说与阴阳学说并列为建立中国原始传统文化的两大基石，共同构成了中国古代朴素的宇宙生成论和系统论思想，成为认识自然和社会的基本框架。五行学说广泛渗透到天文、地理等古代自然科学领域。在天文学上，它与历法、星象观测结合，衍生出五方、五季等概念；在地理学上，早期“地之五行”指水道山川。以邹衍“五德终始说”为代表，五行学说被应用于解释王朝更替与政权合法性。从秦代尚黑（水德）到宋代以前，五德相胜或相生说长期作为王朝正统性的重要依据，影响了国家符号如服色。五行思想深刻影响了语言、文字、礼仪、艺术等社会文化各个方面，形成了以“五”为核心的文化符号体系，如五音、五色、五味、五官等。五行理论是《尚书·洪范》“九畴”政治哲学的基础，为汉代“天人感应”学说提供了思想资源，并对宋明理学产生了影响。相关研究

关于五行学说的起源，现代学术界存在“单线起源论”与“多重起源论”的争议。多重起源论者认为，五行概念源自不同源头，后被整合为一。其起源至少包括“地之五行”，即水道或地理山川，源于“行”字本义；“人之五行”，指人的五种行为或德行，如仁、义、礼、智、圣，此为先秦时代主流内涵；“五材”说，即水、火、木、金、土五种物质元素。这一观点认为《尚书·洪范》的复合文本结构正是尝试将多重起源纳入同一叙事体系的体现。五行学说（常与阴阳学说并提）的科学属性在当代学术界存在争议。一种观点从历史角度出发，认为其与古希腊四元素说等自然哲学类似，提供了理论-逻辑系统以解释自然现象，可被视为古代科学。另一种观点则从现代科学逻辑体系出发，认为阴阳五行学说缺乏现代科学意义上的实证与逻辑基础，因而在现代科学中没有位置。这一讨论曾因官方文件收录相关表述而引发公众关注。从学术史脉络看，五行学说自汉代起被系统纳入官方知识体系与历史解释框架。《汉书》首创《五行志》，后世史书多沿袭此例，将自然灾异与人事政治相联系，此时《尚书·洪范》的阐释以“五行畴”为核心。至宋代，理学兴起，对《洪范》的阐释重心逐渐从“五行畴”转向“皇极畴”，强调君主修身立极的道德与政治哲学意义。

第二部分  数术记遗的古代珠算

《数术记遗》是我国最早记载珠算的古籍，为汉代数学家徐岳撰写，由北周（南北朝时期）数学家甄鸾注解[1]。书中记录了14种计算方法，分别为积算、太一、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算、计数，除了最末的计数属于心算，其余13种均有相应的计算工具。

截图自《数术记遗》

但由于书中没有插画，极简的文言文又无法将这些工具的模样详细说清，便给后人留下了「哥德巴赫猜想」式的谜题。现今的一些学者根据严肃的科学考证，提出了多种可能的推想图，将古代这些有趣的算具再次呈现在世人面前。其中最为主流的，要数李培业[2]推想图，请容我在其基础上加入一点自己的合理优化，让它们以更亲切的形式与大家见面。

让我们一起领略，在那没有计算机的年代，来自古人的非凡智慧。

积算

积算，今之常算者也。以竹为之，长四寸，以放四时，方三分，以象三才。言算法是包括天地，以烛人情。数始四时，终于大衍，又加循环，故曰「今之常算是也」。

积算又称筹算（确切地说是指筹算中最经典、最主流的一种），是我国古代在算盘出现以前最为常用的计算方法。所用工具叫算筹，算筹是一根根小小的棍子，说的是「以竹为之，长四寸」，其实从兽骨到金属，制作算筹的材质多种多样，不同时期算筹的长度也不尽相同。

筹算用棍子的纵横组合摆放来表示数字，分有纵横两式，纵式摆法中以竖棍表示1、横棍表示5，横式摆法中以横棍表示1、竖棍表示5。

不同数位上纵横式交替使用，「一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。」（语出《孙子算经》）

☞ 详细介绍可见《运筹帷幄》一文。

太一

太一算，太一之行，去来九道。

刻板横为九道，竖以为柱，柱上一珠，数以下始。故曰「去来九道」也。

太一算的工具是一种古老的算盘。算盘上刻9道横线，从下至上分别表示1~9，纵线代表数位，算珠置于9线以上或1线以下表示0。

太一算表示的2018

两仪

两仪算，天气下通，地禀四时。

刻板横为五道，竖以为位。一位两珠，上珠色青，下珠色黄。其青珠自上而下，至上第一刻主五，第二刻主六，第三刻主七，第四刻主八，第五刻主九；其黄珠自下而上，至下第一刻主一，第二刻主二，第三刻主三，第四刻主四，而已。故曰「天气下通，地禀四时」也。

两仪算的工具也是古老算盘的一种。算盘和太一一样画成棋盘状，使用青黄两种颜色的算珠。黄珠自下而上，所置横线分别表示1~4；青珠自上而下，所置横线分别表示5~9；两珠停于上下开外表示0。

两仪算表示的2018

三才

三才算，天地和同，随物变通。

刻板横为三道，上刻为天，中刻为地，下刻为人，竖为算位。有三珠，青珠属天，黄珠属地，白珠属人。又其三珠能行三道：若天珠在天为九，在地主六，在人主三；其地珠在天为八，在地主五，在人主二；人珠在天主七，在地主四，在人主一。故曰「天地和同，随物变通」。亦况三元，上元甲子一、七、四，中元甲子二、八、五，下元甲子三、九、六，「随物变通」也。

三才算的工具也是古老算盘的一种。算盘同样是棋盘状，从上至下的三道横线分别名为天线、地线、人线。算珠有三种颜色，青珠称为天珠，黄珠称为地珠，白珠称为人珠。青珠置于天线为9、置于地线为6、置于人线为3，黄珠置于天线为8、置于地线为5、置于人线为2，白珠置于天线为7、置于地线为4、置于人线为1，三珠置于上下开外为0。

三才算表示的2018

《周易》将天、地、人称为三才，三才之珠在天地人间游走，可谓「天地和同，随物变通」也。

五行

五行算，以生兼生，生变无穷。

五行之法，水玄生数一，火赤生数二，木青生数三，金白生数四，土黄生数五。今为五行算，色别九枚，以五行色数相配，为算之位。

五行算是筹算的一种，这里的算筹染有五行所对应的黑、红、青、白、黄五种颜色。黑筹表示1、红筹表示2、青筹表示3、白筹表示4、黄筹表示5，5以上就用两种颜色组合表示，黄黑筹表示6、黄红筹表示7、黄青筹表示8、黄白筹表示9。

五行算表示的2018

写到这里，我满脑子都是《千字文》那句霸气的「天地玄黄，宇宙洪荒。」

八卦

八卦算，针刺八方，位阙从天。

为算之法，位用一针，锋所指以定算位。数一从离起，指正南离为一、西南坤为二、正西兑为三、西北乾为四、正北坎为五、东北艮为六、正东震为七、东南巽为八，至第九位阙，即在中央竖而指天，故曰「位阙从天」也。

八卦算比较特别，在八卦图上用针的指向表示数字，有点像现在的圆盘时钟。从针尖朝南表示1开始，沿顺时针顺序依次表示1~8，针尖朝上竖在中间表示9。

八卦算表示的2018

九宫

九宫算，五行参数，犹如循环。

九宫者，即二四为肩、六八为足、左三右七、戴九履一、五居中央；五行参数者，设位之法依五行，巳注于上是也。

我国古代的天文学家把星空分为九宫格，在这九个格子里填上数字，便成了中国最早出现的幻方。

任意一行、一列、或对角线之和均为15

定睛一看，这布阵不正是洛书么！

图片来自《算法统宗》首篇

九宫在《数术记遗》所列的算法中最为特殊。其他算法都是将数字置于不同的数位以表示不同的数值，即固定数位，让数字在数位上变动，这比较符合常理；而九宫则将幻方九数定死，将代表不同数位的珠子摆到数字上，即固定数字，让数位在数字上变动。这位发明者真是脑洞清奇。

这么看，九宫的算具也是算盘的一种。

数位用不同颜色的珠子表示，还是五行之色。

可谓眼花缭乱。

九宫算表示的2018

这读数得有多吃力，何苦如此折腾，着实令人费解……

运筹

运筹算，小往大来，运于指掌。

此法位别须算筹一枚，各长五寸，至一筹上各为五刻，上头一刻近头，一刻之其下四刻迭相去一寸，令去下一头亦一寸也。

运筹，顾名思义，想必也是筹算的一种。筹上刻了5条横线，两两相隔一寸，最上面一条靠近上端，最下面一条距离下端一寸。5条刻线从下至上分别表示1~5，把筹倒过来拿，刻线从下至上数分别表示6~9。

众所周知，3寸为10cm，这一寸的间隔，正好能容一指的宽度。把一根根这样的算筹夹在指间，用指关节表示数位。

左：运筹算表示的359（图片来自《世界珠算宝典》P751） 右：没错是我自己的手了，加了滤镜依然不堪入目……

如果运筹帷幄的张良用的是这种算筹，可想而知帷帐之中是怎样一幅疯狂「转笔」的景象……

了知

了知算，首唯秉五，腹背两兼。

了算之法，一位为一了字，其了有三曲。其下股之末，内主一，外主九；下次第一曲，内主二，外主八；其第二曲，内主三，外主七；其第三曲，内主四，外主六；当了字之首独立五。故曰「首唯秉五，腹背两兼」也。

用一个「了」字代表一个数位，算子放在「了」的不同位置表示不同数字。

了知算表示的2018

这种算法显然是石子计数发展的产物，这种算具也可以视为一种算盘吧。

成数

成数算，春夏生养，秋冬收成。

算之法，为别须五色算一枚。其一算之象头各以黄色为本，以生数也；余色为首，其五行各配土为成数也。水玄生数一，成数六；火赤生数二，成数七；木青生数三，成数八；金白生数四，成数九。若以首向东及南，为生数；向西及北，为成数。

成数算是一种筹算，与五行算的工具基本相通，也是使用五行之色相互搭配表示数字，在此基础上还引入了朝向的含义：朝东或朝南放的称为生数，表示1~4；朝西或朝北放的称为成数，表示6~9；单色黄筹怎么放都表示5。

古时看方位的习惯与现在恰好是相反的，为上南下北左东右西，理解起来难免会有些别扭。简单地说，1~4朝上或朝左放，6~9朝下或朝右放。

画着画着突然发现，恰好画成了香烟的模样。

如此，从1到9，每个数字便都有了一纵一横的两种摆法，与积算中的纵横两式不谋而合，摆数时纵横交错使用。

成数算表示的2018。我特意没有给0留空，得益于纵横式相间使用的规则，连续的竖筹之间必然有0，懂行的人也便不会把它读成218。

东南为春夏，曰生数；西北为秋冬，曰成数。是可谓「春夏生养，秋冬收成」，算法与四季规律完美吻合。

把头

把头算，以身当五，目视四方。

把头之法，位别须算二枚，一漫[3]一齿者。一面刻为一，其一面为二，一面为三，其一面为四也。漫者为把、为猶[4]，即当五算；至齿者为把头，一目当一算。故曰「以身当五，目视四方」也。

把，耙也，可以理解为猪八戒扛的那种农具。

把头算也是筹算，用一横一竖两根算筹表示数字，组合起来其形如耙。把头刻线，故称齿筹，刻一至四条线表示1~4；把身光溜溜，称漫筹，表示5。两者组合即可表示6~9。

可见，把头算要准备四种齿筹。但细细琢磨原文描述，也许只要两种齿筹，正反面刻线。

把头算表示的2018

龟算

龟算，春夏秋成，遇冬则停。

为算之法，为别一龟，龟之四面为十二时。以龟首指寅为一，指卯为二，指辰为三，指巳为四，指午为五，指未为六，指申为七，指酉为八，指戌为九，指亥、子、丑龟头指不以为数。故云「遇冬则停」也。

我国古代以天干地支计时历法，一年四季与十二地支的对应关系正是寅卯辰春、巳午未夏、申酉戌秋、亥子丑冬。

十二地支围成一圈，中间放个乌龟（当然应该不会是真的乌龟），龟头所指便表示相应的数字，像极了现在的钟表。春夏秋三季的地支表示1~9，冬季的地支不做用处，故曰：「春夏秋成，遇冬则停。」

我特意将十二地支按照钟表的数字顺序排列，俨然一口「龟钟」……

龟算表示的2018

珠算

珠算，控带四时，经纬三才。

刻板为三分，其上下二分以停游珠，中间一分以定算位。位各五珠，上一珠与下四珠色别。其上别色之珠当五，其下四珠，珠各当一[5]。至下四珠所领，故云控带四时。其珠游于三方之中，故云「经纬三才」也。

《数术记遗》是最早提到「珠算」一词的古籍，此处的珠算在本质上已与现今的十分接近，只是在形式上略有不同。

算珠有两种颜色，此处用黑白表示。每个数位上有黑珠1颗、白珠4颗。黑珠表示5，白珠表示1。算盘分为上中下三块区域，算珠组合置于中间区域以表示1~9，五珠置于上下区域表示0。

珠算表示的2018

结语

统览十三种算法，可谓眼花缭乱，然从其所依托的工具来看，除了八卦与龟算，其余的无外乎筹算与珠算两大门类，而八卦和龟算又迷之相似，若要给它们起个门类的话，统称「指针算」也无妨吧。

筹算：积算、五行、运筹、成数、把头。

珠算：太一、两仪、三才、九宫、了知、珠算。

指针算：八卦、龟算。

其实这些所谓的算法，在《数术记遗》中也仅体现了数字和数位的表示方法，至于如何运算，仍是依赖于相应的心算口诀的。但仅是单纯地将算具的外形、颜色、摆法与数字关联起来，古人就赋以了五行八卦、天干地支、四季星辰等等经典的自然哲学，看似复杂，其实一通百通，都是「一生二，二生三，三生万物」的简单规律，深刻体现了我国古代哲学与数学的高度契合。

我不禁想到华夏文明之滥觞——河出图，洛出书。我国辉煌灿烂的历史，正源自这两幅大道至简的数字布阵图。人类的终极智慧，往往也是智慧的源头。

图片来自《算法统宗》首篇

揭秘古代十三种算具，珠算与筹算的起源与演变

----古代算盘究竟长啥样？

你是否曾目睹我校图书馆一楼计算工具陈列馆所珍藏的“古算十三品”？无论你曾一睹为快，还是未曾得见，接下来，我们将为您逐一揭示这十三种古代计算工具的奥秘，带您领略古代计算工具的独特风采。

古代计算工具的演变历程

在古代，人们曾采用多种方式进行计数，如“摆枝计数”、“垒石计数”和“结绳记事”等。而令人瞩目的“珠算”，被誉为我国的“第五大发明”，其发展历程与《数术记遗》这本书紧密相连。该书由汉代人徐岳撰写，北周汉中郡守甄鸾注解，现传本为南宋鲍瀚刻本，珍藏于北京大学图书馆。书中介绍了我国古代14种算法，其中13种都配备了相应的计算工具。遗憾的是，除了“珠算”之名被沿用至今外，其他算具在唐宋以后均失传，其样貌成为了历史之谜。

为了解开这一谜团，中外学者纷纷提出推想图，其中李培业教授的推想图影响深远，得到了学术界的广泛认可。然而，尽管提出了推想图，但这些算具的实体一直未能成功复原。直到2002年，汉中珠算专家程文茂经过长时间的研究和反复试验，终于成功复原了《数术记遗》中记载的十三种古代计算工具，并将其命名为“古算十三品”。

这十三种算具包括积算（即筹算）、太乙算、两仪算等，其中首次出现了“珠算”的名称。甄鸾在注解中详细描述了珠算的构造与功能：“刻板为三分，其上下二分以停游珠，中间一分以定算位。位各五珠，上一珠与下四珠色别。”这段描述揭示了我国珠算在这一时期已初步形成了独特的形貌。更值得一提的是，2002年荆州纪南城遗址曾出土一枚战国陶制算盘珠，证明了那时已经出现了早期的珠算。

除了珠算，书中还介绍了其他12种古代计算工具。这些算具的具体形态，或许我们难以具体想象。比如，“太乙算”这种算具，在《三国演义》第63回中就有所描述，诸葛亮和庞统都曾夜算“太乙数”。依据《数术记遗》中的记载，汉中珠算专家程文茂成功复原了这种算具，并进一步发明了“太乙算棋”与“世界算盘”。

“九宫算”堪称全球初见的动位算法，它颠覆了人们熟悉的数动位不动的计算方式。同时，针对学术界对“把头算”的解读纷繁复杂的现象，我们提出“把”字在古代可能通假为“耙”，并以此为依据，将“把头算”的计算工具形象地比喻为形似农具“谷耙”的一长一短两件物品，这样的解释似乎更合文意。

九宫算：一种独特的动位算法

九宫算，这一全球首见的动位算法，彻底打破了数动位不动的传统计算模式。在学术界对“把头算”的解读五花八门之际，我们提出了一种新的见解：在古代，“把”字可能通假为“耙”。基于这一发现，我们将“把头算”所用的计算工具巧妙地比喻为形似农具“谷耙”的一长一短两件物品，这样的阐释似乎更加贴切。

把头算

谈及“运筹帷幄”，我们不禁好奇，“运筹算”究竟是如何运作的呢？其精髓在于“小数离去大数来，运于掌中巧安排”这一简单而巧妙的操作。具体来说，运筹算的方法是制作三枚筹，每枚筹上都刻有五条刻线，然后用左手的四指三间来夹持这些筹。每根手指的三节分别代表不同的数位：食指的上节间为个位，第二节间为十位，以此类推，直至手掌间可计算至亿位之巨。此外，筹算，这一古代的常用计算工具，在春秋战国时期的《老子》中就有记载，说明其使用历史之悠久。近年来，古代算筹的实物陆续被发现，证明了其真实存在。不仅如此，南北朝时期的祖冲之在计算圆周率时也采用了算筹，进一步印证了其在古代数学中的地位。除了牙筹外，古代的算筹还有木筹、竹筹、铁筹和玉筹等多种材质。

筹算与运筹算：古代计算的两大瑰宝

在古代中国，筹算与运筹算是两大重要的计算工具。经过长期的交融与演变，它们共同为现代珠算体系的形成奠定了坚实基础。自明代起，珠算便以其独特的魅力，风靡全球，至今仍闪耀着古人的智慧之光。每当凝视这些古典而精巧的算具，我们仿佛能穿越时空，目睹先人们为解决计算难题而精心设计的各种算法。这样的历史底蕴与文化瑰宝，令人深感自豪与赞叹。

第三部分  广义函数

广义函数‌是古典函数概念的推广，作为泛函分析的重要分支，其理论广泛应用于数学、物理及力学等领域，特别是在偏微分方程研究中发挥了关键作用 。有关该概念的详细百科介绍可参考 广义函数。‌‌

百科

定义与核心特征

‌本质定义‌：广义函数本质上是定义在特定“性质很好”的函数空间（如基本函数空间）上的‌连续线性泛函‌，通过观察其对试验函数的作用来定义，而非传统意义上的点对应值 。‌‌‌

‌与古典函数区别‌：

‌古典函数‌：通过定义域内每个点的坐标对应具体的函数值来定义 。‌‌‌

‌广义函数‌：通过函数对试验函数的作用（如积分值或特定点的函数值）来定义，允许包含狄拉克δ函数等奇异对象 。‌‌‌

‌基本性质‌：

‌无穷次可微‌：广义函数在广义意义下是无穷次可微的，且其导数仍为广义函数 。‌‌

百科

‌收敛性‌：广义函数意义下的收敛是弱收敛，允许函数项级数逐项微分 。‌‌

百科

‌

发展历程与理论体系

‌起源与引进‌：历史上第一个广义函数由物理学家‌狄拉克‌引入，用于描述量子力学中的点量（如点电荷、点质量），即δ函数 。‌‌

百科

‌理论建立‌：

‌索波列夫‌：1934 年至 1936 年间，苏联数学家索波列夫发现了满足特定要求的函数族，为广义函数奠定基础 。‌‌

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‌施瓦尔茨‌：1945 年，L.施瓦尔茨利用泛函分析观点建立了一整套严格的理论，随后盖尔范德对其作了重要发展 。‌‌

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‌空间分类‌：广义函数理论中介绍了三个基本空间 D、ε和 S，相应的广义函数空间为 D'、ε'、S'，其中正则广义函数是由局部可积函数生成的广义函数 。‌‌

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典型实例与应用场景

‌典型实例‌：

&#8204;狄拉克δ函数&#8204;：满足<δ,φ>=φ(0)，用于描述点源或瞬时作用 。&#8204;&#8204;&#8204;

&#8204;局部可积函数&#8204;：任何局部绝对可积函数均可视为正则广义函数，对应积分值泛函 。&#8204;&#8204;&#8204;&#8204;

&#8204;应用领域&#8204;：

&#8204;数学&#8204;：广泛应用于微分方程、随机过程、流形理论及群的表示理论 。&#8204;&#8204;

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&#8204;物理与力学&#8204;：用于描述点质量、点电荷、偶极子、瞬时打击力等物理量，解决了经典函数无法描述的奇异问题 。

第三部分单叶函数&#8204;&#8204;

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单叶函数&#8204;是复变函数论中一类重要的解析函数，指在复平面区域 D 上满足单射条件的解析函数，即对 D 中任意不同点 z&#8321;、z&#8322;，有 f(z&#8321;)≠f(z&#8322;)。&#8204;&#8204;

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定义与基本性质

&#8204;核心定义&#8204;：对复平面区域 D 上单值的解析函数 f(z)，若对 D 中任意不同的两点 z&#8321;、z&#8322; 有 f(z&#8321;)≠f(z&#8322;)，则称 f(z) 为 D 上的单叶函数。

&#8204;导数性质&#8204;：单叶函数最基本的性质为其导数无零点，即 f'(z)≠0 在定义域内成立。

&#8204;复合与反函数&#8204;：单叶函数的单叶函数仍为单叶函数，单叶函数的反函数也仍为单叶函数。&#8204;&#8204;

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研究历史与发展

&#8204;奠基时期&#8204;：研究起源于 20 世纪初，德国数学家克贝于 1909 年奠基，比伯巴赫在 1916 年建立面积原理并证明偏差定理。

&#8204;核心猜想&#8204;：1916 年比伯巴赫提出著名猜想，历经 68 年探索后于 1984 年由美国数学家布朗基结合米林猜想完成证明。

&#8204;理论基石&#8204;：黎曼映射定理表明任意两个边界点超过一的单连通区域可通过单叶函数相互共形映射。&#8204;&#8204;

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主要函数类

&#8204;S 类&#8204;：单位圆内满足展开式 f(z)=z+a&#8322;z&#178;+…的单叶解析函数构成的集合。

&#8204;∑类&#8204;：单位圆外以∞为单极点且留数为 1 的单叶函数类。&#8204;&#8204;

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第四部分 第六元素

根据量子电动力学，虚粒子就可以构成虚原子，我推测存在5种虚原子，分别构成五种元素。它们分别和五行论中的金木水火土相互对应，五行相生金生水，水生木，木生火，火生土，土生金。五行相克火克金，金克木，木克土，土克水，水克火。这五种元素相互作用的关系和上面五行相生相克的理论对应。

天干五行甲乙同属木，甲为阳木，乙为阴木；丙丁同属火，丙为阳火，丁为阴火，戊己同属土，戊为阳土，己为阴土；庚辛同属金，庚为阳金，辛为阴金；壬癸同属水，壬为阳水，癸为阴水。

地支五行寅卯属木，寅为阳木，卯为阴木；巳午属火，午为阳火，巳为阴火；申酉属金，申为阳金，酉为阴金，子亥属水，子为阳水，亥为阴水；辰戌丑未属土，辰戌为阳土，丑未为阴土。

这五种元素在虚时间上分布的规律和天干地支上五行的分布规律对应，就是说把虚时间分为22份，分别对应十个天干，十二个地支，这五种元素在虚时间上分布的规律和天干地支上五行的分布规律相同。

相关五行理论可参见明刘伯温著《滴天髓》，鬼谷子著《断易天机》，《六壬全书》。

用河图洛书的幻方理论分析虚原子的时间上分布上的固定性，用算盘上算珠的位置分布的密度描述虚粒子在时间上有规律的固定分布的密度，用筹算上算筹的分布的密度描述上述珠算的分布的密度，珠算的计算的是真空极化的积分函数，同时筹算计算的是相对论中时间对应的虚时间的单叶函数。首先用太乙算、两仪算、三才算，计算，最后用古代三栏珠算珠算计算。首先用运筹算、了知算、成数算、把头算等计算，最后用计算。

太乙算、两仪算、三才算，古代三栏珠算的计算口诀可以由现代珠算的计算口诀推导出。珠算口诀可参见清代手抄珠算书。同时，我们可以自己编写珠算口诀，例如586*45=26370，可以得到口诀586乘45等于26370，这样计算576*45=25920，就直接向下减去450，从算盘上将26370变为25920。

清代手抄珠算书如下图所示：

关于古代算具的理论可参见东汉许岳著《数术记遗》的记录。

《数术记遗》介绍了我国古代14种算法，除第14种“计数”为心算，无须算具外，其余13种均有计算工具，分别是：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算和珠算。“珠算”之名，首见于此。

古代算具的资料可见李培业教授著汉中甄鸾古算十三品草图。

同时，我推测，真空中的虚粒子还存在第六种元素，用广义函数的δ函数的欧拉积分描述第六元素，用古代珠算和筹算计算第六种元素。由虚原子构成的第六元素具有很强的能量场，可以给我们提供取之不尽的能量。