围棋棋盘

棋盘由纵横各十九条等距离、垂直交叉的平行线构成。形成361个交叉点，在围棋中简称为"点"。

棋盘整体形状以及每个格子纵、横向相比，横向稍短，通常为每格2.4厘米×2.3厘米。

在棋盘上标有九个小圆点，称作"星"。中央的圆点又称"天元"。

定积分的几何意义与计算

在大多数数学学习及工程应用场景中，“积分面积”通常指代‌定积分的几何意义‌，即通过积分运算求解曲线围成的平面区域面积 。‌‌

百科

‌

‌基本原理‌：定积分的本质是“分割、近似、求和、取极限”，将曲边梯形分割为无数个小矩形，累加其面积得到精确值 。

‌代数含义‌：定积分

  a

∫ f(x)dx表示曲线

  b

Y-f(x)与x轴在区间[a,b]上围成的‌有向面积代数和‌，x轴上方面积为正，下方为负 。

‌计算前提‌：若函数在区间内连续且非负，积分值直接等于几何面积；若函数有正有负，计算实际几何面积时需分段积分并取绝对值求和 。‌‌‌

利用定积分计算面积时，需根据图形边界类型选择相应的积分公式与策略 。‌‌‌

‌曲边梯形面积‌：

由曲线

                                        a

y=f(x)、直线x-a、x-b及x轴围成，公式为S-∫∣f(x)∣dx

                                        B

                                           2

例如计算f(x)-x在$$与x轴围成的面积，结果为∫ xdx-2。

0‌‌‌

‌两曲线围成面积‌：

若由y=f(x)与y=g(x)围成，且在区间内f(x)≥g(x)，面积为

   a

S=∫ [f(x)−g(x)]dx

​ b

若曲线在区间内有交点，需分段讨论，确保被积函数始终为“上曲线减下曲线” 。‌‌‌

‌极坐标与旋转体‌：

极坐标方程

r=ρ(θ)围成的面积公式为

       Β           2

S=(1/2)∫ αβ[ρ(θ)]  dθ

       α

积分还可拓展至计算旋转体体积、曲线弧长及曲面面积，本质均为微元累加 。‌‌‌

在围棋棋盘上，我们用白子将黑子包围一圈，如果这个白子围成一圈的面积等于积分曲线和x轴围成的面积，那么白子围成一圈的面积就是积分的数值。

怎样确定白子的位置，这就需要利用算盘进行计算。

第二部分  数术记遗的古代珠算

《数术记遗》是我国最早记载珠算的古籍，为汉代数学家徐岳撰写，由北周（南北朝时期）数学家甄鸾注解[url=file:///H:/2026%E5%B9%B4%E5%8F%91%E6%98%8E/%E5%9B%B4%E6%A3%8B%E8%AE%A1%E7%AE%97%E7%A7%AF%E5%88%86/%E7%94%A8%E5%9B%B4%E6%A3%8B%E5%92%8C%E7%AE%97%E7%9B%98%E8%AE%A1%E7%AE%97%E7%A7%AF%E5%88%86%E7%9A%84%E6%96%B9%E6%B3%95.docx#ref_1]^[1][/url]。书中记录了14种计算方法，分别为积算、太一、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算、计数，除了最末的计数属于心算，其余13种均有相应的计算工具。

截图自《数术记遗》

但由于书中没有插画，极简的文言文又无法将这些工具的模样详细说清，便给后人留下了「哥德巴赫猜想」式的谜题。现今的一些学者根据严肃的科学考证，提出了多种可能的推想图，将古代这些有趣的算具再次呈现在世人面前。其中最为主流的，要数李培业[url=file:///H:/2026%E5%B9%B4%E5%8F%91%E6%98%8E/%E5%9B%B4%E6%A3%8B%E8%AE%A1%E7%AE%97%E7%A7%AF%E5%88%86/%E7%94%A8%E5%9B%B4%E6%A3%8B%E5%92%8C%E7%AE%97%E7%9B%98%E8%AE%A1%E7%AE%97%E7%A7%AF%E5%88%86%E7%9A%84%E6%96%B9%E6%B3%95.docx#ref_2]^[2][/url]推想图，请容我在其基础上加入一点自己的合理优化，让它们以更亲切的形式与大家见面。

让我们一起领略，在那没有计算机的年代，来自古人的非凡智慧。

[b]积算[/b]

积算，今之常算者也。以竹为之，长四寸，以放四时，方三分，以象三才。言算法是包括天地，以烛人情。数始四时，终于大衍，又加循环，故曰「今之常算是也」。

积算又称筹算（确切地说是指筹算中最经典、最主流的一种），是我国古代在算盘出现以前最为常用的计算方法。所用工具叫算筹，算筹是一根根小小的棍子，说的是「以竹为之，长四寸」，其实从兽骨到金属，制作算筹的材质多种多样，不同时期算筹的长度也不尽相同。

筹算用棍子的纵横组合摆放来表示数字，分有纵横两式，纵式摆法中以竖棍表示1、横棍表示5，横式摆法中以横棍表示1、竖棍表示5。

不同数位上纵横式交替使用，「一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。」（语出《孙子算经》）

☞ 详细介绍可见《运筹帷幄》一文。

[b]太一[/b]

太一算，太一之行，去来九道。
刻板横为九道，竖以为柱，柱上一珠，数以下始。故曰「去来九道」也。

太一算的工具是一种古老的算盘。算盘上刻9道横线，从下至上分别表示1~9，纵线代表数位，算珠置于9线以上或1线以下表示0。

太一算表示的2018

[b]两仪[/b]

两仪算，天气下通，地禀四时。
刻板横为五道，竖以为位。一位两珠，上珠色青，下珠色黄。其青珠自上而下，至上第一刻主五，第二刻主六，第三刻主七，第四刻主八，第五刻主九；其黄珠自下而上，至下第一刻主一，第二刻主二，第三刻主三，第四刻主四，而已。故曰「天气下通，地禀四时」也。

两仪算的工具也是古老算盘的一种。算盘和太一一样画成棋盘状，使用青黄两种颜色的算珠。黄珠自下而上，所置横线分别表示1~4；青珠自上而下，所置横线分别表示5~9；两珠停于上下开外表示0。

两仪算表示的2018

[b]三才[/b]

三才算，天地和同，随物变通。
刻板横为三道，上刻为天，中刻为地，下刻为人，竖为算位。有三珠，青珠属天，黄珠属地，白珠属人。又其三珠能行三道：若天珠在天为九，在地主六，在人主三；其地珠在天为八，在地主五，在人主二；人珠在天主七，在地主四，在人主一。故曰「天地和同，随物变通」。亦况三元，上元甲子一、七、四，中元甲子二、八、五，下元甲子三、九、六，「随物变通」也。

三才算的工具也是古老算盘的一种。算盘同样是棋盘状，从上至下的三道横线分别名为天线、地线、人线。算珠有三种颜色，青珠称为天珠，黄珠称为地珠，白珠称为人珠。青珠置于天线为9、置于地线为6、置于人线为3，黄珠置于天线为8、置于地线为5、置于人线为2，白珠置于天线为7、置于地线为4、置于人线为1，三珠置于上下开外为0。

三才算表示的2018

《周易》将天、地、人称为三才，三才之珠在天地人间游走，可谓「天地和同，随物变通」也。

[b]五行[/b]

五行算，以生兼生，生变无穷。
五行之法，水玄生数一，火赤生数二，木青生数三，金白生数四，土黄生数五。今为五行算，色别九枚，以五行色数相配，为算之位。

五行算是筹算的一种，这里的算筹染有五行所对应的黑、红、青、白、黄五种颜色。黑筹表示1、红筹表示2、青筹表示3、白筹表示4、黄筹表示5，5以上就用两种颜色组合表示，黄黑筹表示6、黄红筹表示7、黄青筹表示8、黄白筹表示9。

五行算表示的2018

写到这里，我满脑子都是《千字文》那句霸气的「天地玄黄，宇宙洪荒。」

[b]八卦[/b]

八卦算，针刺八方，位阙从天。
为算之法，位用一针，锋所指以定算位。数一从离起，指正南离为一、西南坤为二、正西兑为三、西北乾为四、正北坎为五、东北艮为六、正东震为七、东南巽为八，至第九位阙，即在中央竖而指天，故曰「位阙从天」也。

八卦算比较特别，在八卦图上用针的指向表示数字，有点像现在的圆盘时钟。从针尖朝南表示1开始，沿顺时针顺序依次表示1~8，针尖朝上竖在中间表示9。

八卦算表示的2018

[b]九宫[/b]

九宫算，五行参数，犹如循环。
九宫者，即二四为肩、六八为足、左三右七、戴九履一、五居中央；五行参数者，设位之法依五行，巳注于上是也。

我国古代的天文学家把星空分为九宫格，在这九个格子里填上数字，便成了中国最早出现的幻方。

任意一行、一列、或对角线之和均为15

定睛一看，这布阵不正是洛书么！

图片来自《算法统宗》首篇

九宫在《数术记遗》所列的算法中最为特殊。其他算法都是将数字置于不同的数位以表示不同的数值，即固定数位，让数字在数位上变动，这比较符合常理；而九宫则将幻方九数定死，将代表不同数位的珠子摆到数字上，即固定数字，让数位在数字上变动。这位发明者真是脑洞清奇。

这么看，九宫的算具也是算盘的一种。

数位用不同颜色的珠子表示，还是五行之色。

可谓眼花缭乱。

九宫算表示的2018

这读数得有多吃力，何苦如此折腾，着实令人费解……

[b]运筹[/b]

运筹算，小往大来，运于指掌。
此法位别须算筹一枚，各长五寸，至一筹上各为五刻，上头一刻近头，一刻之其下四刻迭相去一寸，令去下一头亦一寸也。

运筹，顾名思义，想必也是筹算的一种。筹上刻了5条横线，两两相隔一寸，最上面一条靠近上端，最下面一条距离下端一寸。5条刻线从下至上分别表示1~5，把筹倒过来拿，刻线从下至上数分别表示6~9。

众所周知，3寸为10cm，这一寸的间隔，正好能容一指的宽度。把一根根这样的算筹夹在指间，用指关节表示数位。

左：运筹算表示的359（图片来自《世界珠算宝典》P751） 右：没错是我自己的手了，加了滤镜依然不堪入目……

如果运筹帷幄的张良用的是这种算筹，可想而知帷帐之中是怎样一幅疯狂「转笔」的景象……

[b]了知[/b]

了知算，首唯秉五，腹背两兼。
了算之法，一位为一了字，其了有三曲。其下股之末，内主一，外主九；下次第一曲，内主二，外主八；其第二曲，内主三，外主七；其第三曲，内主四，外主六；当了字之首独立五。故曰「首唯秉五，腹背两兼」也。

用一个「了」字代表一个数位，算子放在「了」的不同位置表示不同数字。

了知算表示的2018

这种算法显然是石子计数发展的产物，这种算具也可以视为一种算盘吧。

[b]成数[/b]

成数算，春夏生养，秋冬收成。
算之法，为别须五色算一枚。其一算之象头各以黄色为本，以生数也；余色为首，其五行各配土为成数也。水玄生数一，成数六；火赤生数二，成数七；木青生数三，成数八；金白生数四，成数九。若以首向东及南，为生数；向西及北，为成数。

成数算是一种筹算，与五行算的工具基本相通，也是使用五行之色相互搭配表示数字，在此基础上还引入了朝向的含义：朝东或朝南放的称为生数，表示1~4；朝西或朝北放的称为成数，表示6~9；单色黄筹怎么放都表示5。

古时看方位的习惯与现在恰好是相反的，为上南下北左东右西，理解起来难免会有些别扭。简单地说，1~4朝上或朝左放，6~9朝下或朝右放。

画着画着突然发现，恰好画成了香烟的模样。

如此，从1到9，每个数字便都有了一纵一横的两种摆法，与积算中的纵横两式不谋而合，摆数时纵横交错使用。

成数算表示的2018。我特意没有给0留空，得益于纵横式相间使用的规则，连续的竖筹之间必然有0，懂行的人也便不会把它读成218。

东南为春夏，曰生数；西北为秋冬，曰成数。是可谓「春夏生养，秋冬收成」，算法与四季规律完美吻合。

[b]把头[/b]

把头算，以身当五，目视四方。
把头之法，位别须算二枚，一漫[url=file:///H:/2026%E5%B9%B4%E5%8F%91%E6%98%8E/%E5%9B%B4%E6%A3%8B%E8%AE%A1%E7%AE%97%E7%A7%AF%E5%88%86/%E7%94%A8%E5%9B%B4%E6%A3%8B%E5%92%8C%E7%AE%97%E7%9B%98%E8%AE%A1%E7%AE%97%E7%A7%AF%E5%88%86%E7%9A%84%E6%96%B9%E6%B3%95.docx#ref_3]^[3][/url]一齿者。一面刻为一，其一面为二，一面为三，其一面为四也。漫者为把、为猶[url=file:///H:/2026%E5%B9%B4%E5%8F%91%E6%98%8E/%E5%9B%B4%E6%A3%8B%E8%AE%A1%E7%AE%97%E7%A7%AF%E5%88%86/%E7%94%A8%E5%9B%B4%E6%A3%8B%E5%92%8C%E7%AE%97%E7%9B%98%E8%AE%A1%E7%AE%97%E7%A7%AF%E5%88%86%E7%9A%84%E6%96%B9%E6%B3%95.docx#ref_4]^[4][/url]，即当五算；至齿者为把头，一目当一算。故曰「以身当五，目视四方」也。

把，耙也，可以理解为猪八戒扛的那种农具。

把头算也是筹算，用一横一竖两根算筹表示数字，组合起来其形如耙。把头刻线，故称齿筹，刻一至四条线表示1~4；把身光溜溜，称漫筹，表示5。两者组合即可表示6~9。

可见，把头算要准备四种齿筹。但细细琢磨原文描述，也许只要两种齿筹，正反面刻线。

把头算表示的2018

[b]龟算[/b]

龟算，春夏秋成，遇冬则停。
为算之法，为别一龟，龟之四面为十二时。以龟首指寅为一，指卯为二，指辰为三，指巳为四，指午为五，指未为六，指申为七，指酉为八，指戌为九，指亥、子、丑龟头指不以为数。故云「遇冬则停」也。

我国古代以天干地支计时历法，一年四季与十二地支的对应关系正是寅卯辰春、巳午未夏、申酉戌秋、亥子丑冬。

十二地支围成一圈，中间放个乌龟（当然应该不会是真的乌龟），龟头所指便表示相应的数字，像极了现在的钟表。春夏秋三季的地支表示1~9，冬季的地支不做用处，故曰：「春夏秋成，遇冬则停。」

我特意将十二地支按照钟表的数字顺序排列，俨然一口「龟钟」……

龟算表示的2018

[b]珠算[/b]

珠算，控带四时，经纬三才。
刻板为三分，其上下二分以停游珠，中间一分以定算位。位各五珠，上一珠与下四珠色别。其上别色之珠当五，其下四珠，珠各当一[url=file:///H:/2026%E5%B9%B4%E5%8F%91%E6%98%8E/%E5%9B%B4%E6%A3%8B%E8%AE%A1%E7%AE%97%E7%A7%AF%E5%88%86/%E7%94%A8%E5%9B%B4%E6%A3%8B%E5%92%8C%E7%AE%97%E7%9B%98%E8%AE%A1%E7%AE%97%E7%A7%AF%E5%88%86%E7%9A%84%E6%96%B9%E6%B3%95.docx#ref_5]^[5][/url]。至下四珠所领，故云控带四时。其珠游于三方之中，故云「经纬三才」也。

《数术记遗》是最早提到「珠算」一词的古籍，此处的珠算在本质上已与现今的十分接近，只是在形式上略有不同。

算珠有两种颜色，此处用黑白表示。每个数位上有黑珠1颗、白珠4颗。黑珠表示5，白珠表示1。算盘分为上中下三块区域，算珠组合置于中间区域以表示1~9，五珠置于上下区域表示0。

珠算表示的2018

[b]结语[/b]

统览十三种算法，可谓眼花缭乱，然从其所依托的工具来看，除了八卦与龟算，其余的无外乎筹算与珠算两大门类，而八卦和龟算又迷之相似，若要给它们起个门类的话，统称「指针算」也无妨吧。

· 筹算：积算、五行、运筹、成数、把头。

· 珠算：太一、两仪、三才、九宫、了知、珠算。

· 指针算：八卦、龟算。

其实这些所谓的算法，在《数术记遗》中也仅体现了数字和数位的表示方法，至于如何运算，仍是依赖于相应的心算口诀的。但仅是单纯地将算具的外形、颜色、摆法与数字关联起来，古人就赋以了五行八卦、天干地支、四季星辰等等经典的自然哲学，看似复杂，其实一通百通，都是「一生二，二生三，三生万物」的简单规律，深刻体现了我国古代哲学与数学的高度契合。

我不禁想到华夏文明之滥觞——河出图，洛出书。我国辉煌灿烂的历史，正源自这两幅大道至简的数字布阵图。人类的终极智慧，往往也是智慧的源头。

图片来自《算法统宗》首篇

揭秘古代十三种算具，珠算与筹算的起源与演变

----古代算盘究竟长啥样？

你是否曾目睹我校图书馆一楼计算工具陈列馆所珍藏的“古算十三品”？无论你曾一睹为快，还是未曾得见，接下来，我们将为您逐一揭示这十三种古代计算工具的奥秘，带您领略古代计算工具的独特风采。
古代计算工具的演变历程

在古代，人们曾采用多种方式进行计数，如“摆枝计数”、“垒石计数”和“结绳记事”等。而令人瞩目的“珠算”，被誉为我国的“第五大发明”，其发展历程与《数术记遗》这本书紧密相连。该书由汉代人徐岳撰写，北周汉中郡守甄鸾注解，现传本为南宋鲍瀚刻本，珍藏于北京大学图书馆。书中介绍了我国古代14种算法，其中13种都配备了相应的计算工具。遗憾的是，除了“珠算”之名被沿用至今外，其他算具在唐宋以后均失传，其样貌成为了历史之谜。

为了解开这一谜团，中外学者纷纷提出推想图，其中李培业教授的推想图影响深远，得到了学术界的广泛认可。然而，尽管提出了推想图，但这些算具的实体一直未能成功复原。直到2002年，汉中珠算专家程文茂经过长时间的研究和反复试验，终于成功复原了《数术记遗》中记载的十三种古代计算工具，并将其命名为“古算十三品”。

这十三种算具包括积算（即筹算）、太乙算、两仪算等，其中首次出现了“珠算”的名称。甄鸾在注解中详细描述了珠算的构造与功能：“刻板为三分，其上下二分以停游珠，中间一分以定算位。位各五珠，上一珠与下四珠色别。”这段描述揭示了我国珠算在这一时期已初步形成了独特的形貌。更值得一提的是，2002年荆州纪南城遗址曾出土一枚战国陶制算盘珠，证明了那时已经出现了早期的珠算。

除了珠算，书中还介绍了其他12种古代计算工具。这些算具的具体形态，或许我们难以具体想象。比如，“太乙算”这种算具，在《三国演义》第63回中就有所描述，诸葛亮和庞统都曾夜算“太乙数”。依据《数术记遗》中的记载，汉中珠算专家程文茂成功复原了这种算具，并进一步发明了“太乙算棋”与“世界算盘”。

“九宫算”堪称全球初见的动位算法，它颠覆了人们熟悉的数动位不动的计算方式。同时，针对学术界对“把头算”的解读纷繁复杂的现象，我们提出“把”字在古代可能通假为“耙”，并以此为依据，将“把头算”的计算工具形象地比喻为形似农具“谷耙”的一长一短两件物品，这样的解释似乎更合文意。

九宫算：一种独特的动位算法

九宫算，这一全球首见的动位算法，彻底打破了数动位不动的传统计算模式。在学术界对“把头算”的解读五花八门之际，我们提出了一种新的见解：在古代，“把”字可能通假为“耙”。基于这一发现，我们将“把头算”所用的计算工具巧妙地比喻为形似农具“谷耙”的一长一短两件物品，这样的阐释似乎更加贴切。

把头算

谈及“运筹帷幄”，我们不禁好奇，“运筹算”究竟是如何运作的呢？其精髓在于“小数离去大数来，运于掌中巧安排”这一简单而巧妙的操作。具体来说，运筹算的方法是制作三枚筹，每枚筹上都刻有五条刻线，然后用左手的四指三间来夹持这些筹。每根手指的三节分别代表不同的数位：食指的上节间为个位，第二节间为十位，以此类推，直至手掌间可计算至亿位之巨。此外，筹算，这一古代的常用计算工具，在春秋战国时期的《老子》中就有记载，说明其使用历史之悠久。近年来，古代算筹的实物陆续被发现，证明了其真实存在。不仅如此，南北朝时期的祖冲之在计算圆周率时也采用了算筹，进一步印证了其在古代数学中的地位。除了牙筹外，古代的算筹还有木筹、竹筹、铁筹和玉筹等多种材质。

筹算与运筹算：古代计算的两大瑰宝

在古代中国，筹算与运筹算是两大重要的计算工具。经过长期的交融与演变，它们共同为现代珠算体系的形成奠定了坚实基础。自明代起，珠算便以其独特的魅力，风靡全球，至今仍闪耀着古人的智慧之光。每当凝视这些古典而精巧的算具，我们仿佛能穿越时空，目睹先人们为解决计算难题而精心设计的各种算法。这样的历史底蕴与文化瑰宝，令人深感自豪与赞叹。

第三部分  用珠算计算积分

10   4   3    2              4   3    2

例如计算积分∫  (x  +6x  +5x  +6)dx,这里y=x  +6x  +5x  +6

             100

方法一

                         4   3    2                    4

第一步，将10带入方程式x  +6x  +5x  +6，首先用算盘计算x  =10000,再将这个数记录到

                    3                                          2

太一算上面，再计算6x =6000,再将这个数记录到太一算上面，按照这些数值的大小制作木条，数值多大，木条就多长。

再计算5x  =500,再将这个数记录到太一算上面，最后再将6记录到太一算上面，按照这些数值的大小制作木条，数值多大，木条就多长。

再用两仪算计算10000+6000=16000，将这个数记录在太一算上，按照这些数值的大小制作木条，数值多大，木条就多长。

再用两仪算计算500+6=506，将这个数记录在太一算上，按照这些数值的大小制作木条，数值多大，木条就多长。

再用三才算计算16000+506=16506，将这个数记录在太一算上。按照这些数值的大小制作木条，数值多大，木条就多长。

                         4    3    2                    4

第二步，将100带入方程式x  +6x  +5x  +6，首先用算盘计算x  =100000000,再将这个数记录到

                    3                                          2

太一算上面，再计算6x =6000000,再将这个数记录到太一算上面，按照这些数值的大小制作木条，数值多大，木条就多长。

再计算5x  =50000,再将这个数记录到太一算上面，最后再将6记录到太一算上面，按照这些数值的大小制作木条，数值多大，木条就多长。

再用两仪算计算100000000+6000000=1006000000，将这个数记录在太一算上，按照这些数值的大小制作木条，数值多大，木条就多长。

再用两仪算计算50000+6=50006，将这个数记录在太一算上，按照这些数值的大小制作木条，数值多大，木条就多长。

再用三才算计算1006000000+50006=1006050006，将这个数记录在太一算上。按照这些数值的大小制作木条，数值多大，木条就多长。

第三步，分别计算x=20,x=30.x=40,...,x=90时的y值，按照这些数值的大小制作木条，数值多大，木条就多长。

第四部，将上面的木条放到围棋棋盘上，木条越长，所占棋盘的面积就越大，木条越短所占棋盘的面积就越小。当增加x的数值时，木条的长度就会增加，木条所占的面积就会增加。

第五部，将所有木条按照x的取值从大到小，排列在一起，就会在围棋棋盘上占一个面积，这个面积就是积分的数值。这就类似y和x轴围成的面积一样，面积由很多y的取值线组成。

方法二

将算盘计算的结果放到八卦算里，10就在八卦的内圈，100在八卦的外圈，1000在八卦的更外圈，例如数值937，八卦的在外圈是9，中间一圈是3，最里面的一圈是7，这样就表示数值937。

同时，还可以用成数记录，数值的位数，例如，上面计算的100000000，是9位数就用成数的9表示，

用把头算记录数值的大小，例如，上面计算的1006000000，，只有数子1和6，就用把头算的1和6表示。

用成数和把头算组合到一起就会表示一个数。当要调节这个数值的大小时，只需要调节龟算数值的大小，当龟算转一圈后，数值就会增大10倍。

同时，三栏算盘的最下一栏的数值表示龟算计算结果的数值，很多个龟算计算结果的数值放在一起，就会发现龟算计算结果值从大到小的变化。

再将这些数值按照面积大小用白子在围棋棋盘上围成一个圈，当很多圈组合到一起就会得到一个总的面积，这个面积就是积分的数值。